§ 2. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — это угол, который получают, если отложить векторы от одной точки. Его величина лежит от 0° до 180° включительно. Такое соглашение позволяет однозначно учитывать, направлены ли векторы одинаково, противоположно или образуют промежуточный угол. Знание угла нужно, чтобы связать направление векторов с численным результатом их произведения.

Скалярное произведение векторов a и b обозначают a·b и определяют формулой a·b = |a||b| cos φ, где |a| и |b| — длины, а φ — угол между ними. Иными словами, перемножают длины и косинус угла. Результат — число, а не вектор. Определение пригодится, когда известны длины векторов и угол между ними.

Скалярный квадрат вектора a — его произведение на самого себя: a·a, иногда его также записывают как a². Угол между вектором и самим собой равен 0°, а cos 0° = 1, поэтому a·a = |a|². Это обозначение удобно, когда нужно выразить квадрат длины или вычислить его через координаты. Скалярный квадрат не следует путать с умножением вектора на число.

Ненулевые векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Для таких векторов скалярное произведение равно нулю, и наоборот: нулевое произведение двух ненулевых векторов означает, что они перпендикулярны. Поэтому произведение помогает проверять прямой угол без построения. Нулевой вектор в этот критерий не включают.

Как это устроено

В определении появляется косинус, потому что он показывает, насколько направления векторов совпадают. При угле 0° косинус равен 1, а при 180° — −1, поэтому параллельные сонаправленные векторы дают положительное произведение, а противоположно направленные — отрицательное. При прямом угле косинус равен нулю, и результат тоже нулевой. Между этими случаями знак и величина произведения отражают взаимное направление и длины векторов.

Переместительное свойство следует из определения: угол между a и b один и тот же, если поменять векторы местами, а произведение длин тоже не меняется. Значит, a·b = b·a. Распределительное свойство можно увидеть, если разложить сумму векторов на составляющие: a·(b + c) = a·b + a·c. Числовой множитель также выносится: (ka)·b = k(a·b), поскольку умножение вектора на k меняет его длину в |k| раз, а при k < 0 ещё и направление, что учитывает знак k.

Чтобы перейти к координатной формуле, представим каждый вектор как сумму составляющих вдоль взаимно перпендикулярных осей: a = (x₁; y₁; z₁), b = (x₂; y₂; z₂). Раскроем произведение сумм по распределительному свойству. Смешанные слагаемые, например произведения составляющих вдоль разных осей, равны нулю, потому что эти составляющие перпендикулярны. Остаются произведения соответствующих координат: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂; на плоскости слагаемых два.

Если в определение подставить один и тот же вектор дважды, угол между ним и собой равен 0°, поэтому a·a = |a|² cos 0° = |a|². Из координатной формулы для a·a получаем x₁² + y₁² + z₁². Это согласуется с формулой длины вектора: |a| = √(x₁² + y₁² + z₁²). Значит, скалярный квадрат позволяет найти квадрат длины, а координаты — вычислить его без нахождения угла.

При прямом угле cos 90° = 0, поэтому определение сразу даёт a·b = 0. Для обратного утверждения важны ненулевые векторы: их длины положительны, и из |a||b| cos φ = 0 следует cos φ = 0. На отрезке углов от 0° до 180° косинус обращается в ноль только при φ = 90°. Следовательно, для ненулевых векторов нулевое скалярное произведение равносильно перпендикулярности.

Формулы и свойства скалярного произведения

Сначала выберите строку по известным данным: угол и длины или координаты. Если требуется преобразовать выражение с суммой векторов, применяйте распределительное свойство, а множитель выносите отдельно. Для проверки перпендикулярности используйте последнюю строку и убедитесь, что оба вектора ненулевые.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длиной 4 и 6, если угол между ними равен 60°.

1. Используем определение: a·b = |a||b| cos φ. Длины и угол уже известны, поэтому координаты искать не требуется.

2. Подставляем значения: a·b = 4·6·cos 60°. Так как cos 60° = ½, получаем 24·½ = 12.

Ответ: 12. Положительный результат согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2. Вычислите скалярное произведение векторов a = (2; −1; 3) и b = (1; 4; −2).

1. Записываем координатную формулу: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Векторы заданы в пространстве, поэтому учитываем все три координаты.

2. Перемножаем координаты, стоящие на одинаковых местах: 2·1 = 2, (−1)·4 = −4, 3·(−2) = −6. Складываем результаты: 2 − 4 − 6 = −8.

Ответ: −8. Отрицательный знак означает, что угол между векторами тупой.

Задача 3. Найдите угол между векторами a = (1; 2; 2) и b = (2; 1; −2).

1. Сначала найдём произведение по координатам: a·b = 1·2 + 2·1 + 2·(−2) = 2 + 2 − 4 = 0. Чтобы определить угол, проверим длины векторов.

2. |a| = √(1² + 2² + 2²) = 3; |b| = √(2² + 1² + (−2)²) = 3. Оба вектора ненулевые, значит можно использовать cos φ = (a·b)/(|a||b|).

3. Получаем cos φ = 0/(3·3) = 0. Угол от 0° до 180°, косинус которого равен нулю, составляет 90°.

Ответ: 90°. Нулевое произведение ненулевых векторов подтверждает, что они перпендикулярны.

Типичные ошибки

Скалярное произведение иногда путают с векторным и записывают результат как вектор. Причина — оба выражения составлены из двух векторов, но их результаты различны: скалярное произведение является числом. Проверьте, что в ответе нет направления и координат нового вектора. Например, в задачах выше результатами были числа 12, −8 и 0.

Другая ошибка — забыть косинус или подставить вместо него величину угла. Так происходит, если формулу воспринимают как простое произведение длин. Всегда записывайте a·b = |a||b| cos φ и вычисляйте косинус отдельно. Например, при угле 60° нужно умножать длины на ½, а не на 60.

При вычислении по координатам можно перемножить координаты из разных позиций или не сложить все произведения. Обычно так бывает, когда компоненты записаны в строку и их порядок теряется. Сверьте координаты попарно: первая с первой, вторая со второй, третья с третьей; затем сложите все полученные числа. Число слагаемых должно совпадать с числом координат.

Нулевое произведение не означает перпендикулярность любых векторов без оговорок. Нулевой вектор имеет нулевое произведение с любым вектором, но не имеет направления, поэтому угол между ним и другим вектором в обычном определении не задаётся. Перед применением критерия проверьте, что оба вектора ненулевые. Если это так, из нулевого произведения действительно следует прямой угол.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны координаты и длина вектора, а также понятие угла между векторами и значения косинуса. Формула через длины и угол связывает геометрическое представление с вычислениями.

В стереометрии скалярное произведение помогает находить углы между направлениями и проверять перпендикулярность. Это удобно, когда пространственную задачу можно перевести на язык координат.

При изучении аналитических методов координаты и произведения помогают решать геометрические задачи вычислениями. Те же методы встречаются при работе с уравнениями прямых и плоскостей, где направление векторов играет важную роль.

Что запомнить

• Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

• Скалярное произведение двух векторов — число.

• Скалярное произведение не меняется при перестановке векторов.

• В координатах перемножают соответствующие координаты и складывают результаты.

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.