50. Угол между векторами

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — это угол между лучами, направленными вдоль этих векторов, когда начала векторов совмещены. Его величина составляет от 0° до 180°. Такое определение позволяет сравнивать направления векторов, даже если они первоначально расположены в разных местах.

Сонаправленные векторы — ненулевые векторы, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Угол между ними равен 0°. Это понятие нужно, чтобы отличать совпадение направлений от простого расположения векторов на параллельных прямых.

Противоположно направленные векторы — ненулевые векторы на параллельных прямых, направленные в разные стороны. Угол между ними равен 180°. Так можно точно описать случай, когда направления векторов полностью противоположны.

Перпендикулярные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Иными словами, после совмещения начал они образуют прямой угол. Это определение позволяет говорить о перпендикулярности именно векторов, а не только прямых, на которых они лежат.

Как это устроено

Чтобы сравнить векторы, расположенные в разных местах, один из них можно перенести параллельно самому себе. При таком переносе сохраняются и длина, и направление, поэтому вектор остаётся тем же. Начала совмещают, а затем смотрят, какой угол образуют лучи, заданные стрелками. Выбор места для общего начала не влияет на результат: при другом переносе направления лучей останутся прежними.

Два луча с общим началом задают не один, а два угла: меньший и больший, сумма которых равна 360°. Угол между векторами по определению выбирают в пределах от 0° до 180°, то есть берут меньший из этих углов. Благодаря этому для одной и той же пары векторов получается однозначный ответ. Например, если меньший угол равен 125°, второй составляет 235°, но углом между векторами считают именно 125°.

Длина вектора сообщает, насколько далеко расположены его начало и конец, а угол между векторами описывает только взаимное направление. Если растянуть или укоротить вектор, сохранив сторону стрелки, направление не изменится. Поэтому угол между векторами остаётся прежним. Это особенно удобно, когда нужно сравнивать векторы разной длины: их можно представить в виде стрелок с общим началом и не учитывать масштаб.

Сонаправленность и противоположная направленность определяются одновременно положением параллельных прямых и сторонами, в которые указывают стрелки. Если стрелки после совмещения начал смотрят в одну сторону, лучи совпадают и угол равен 0°. Если они смотрят в разные стороны, лучи образуют развернутый угол 180°. Следовательно, одной параллельности прямых недостаточно, чтобы решить, какой из этих случаев перед нами.

Перпендикулярность векторов означает, что после совмещения начал лучи образуют прямой угол. Место, где первоначально располагались начала, значения не имеет: перенос не меняет направлений, а значит, не меняет и угол. Слово «перпендикулярные» описывает частный случай, когда угол точно равен 90°. Нулевой вектор сюда не включают: у него нет направления, которое можно было бы сравнить с направлением другого вектора.

Угол между векторами в зависимости от их направления

Чтобы пользоваться таблицей, сначала мысленно совместите начала векторов и определите направление стрелок. Затем выберите строку, которая описывает их взаимное положение, и прочитайте соответствующий угол или промежуток. Границы 0°, 90° и 180° относятся к отдельным случаям, поэтому их не следует включать в интервалы для острого и тупого углов.

Разбор задач

Задача 1. Даны два сонаправленных ненулевых вектора. Найдите угол между ними.

1. По условию векторы ненулевые, поэтому их направления определены. Сонаправленность означает, что стрелки указывают в одну сторону. Длины векторов для определения угла не нужны.

2. Мысленно перенесём векторы так, чтобы начала совпали. Их лучи окажутся направленными одинаково и совпадут. Угол между совпадающими лучами равен 0°.

Ответ: 0°.

Задача 2. Даны векторы AB и CD, где прямые AB и CD параллельны, а направления векторов совпадают. Найдите угол между векторами.

1. Векторы лежат на параллельных прямых, поэтому их можно перенести параллельно самим себе. При переносе сохраняются направления стрелок: вектор AB направлен от A к B, а вектор CD — от C к D. По условию эти направления совпадают.

2. Совместим начала векторов. После переноса лучи, направленные вдоль AB и CD, будут смотреть в одну сторону. Длина отрезков AB и CD может быть разной, но на угол это не влияет.

3. Сонаправленные векторы образуют угол 0°. Здесь важно учесть именно стрелки, а не только то, что прямые параллельны: при противоположных направлениях ответ был бы другим.

Ответ: 0°.

Задача 3. Векторы a и b образуют угол 125°. Какой угол образуют векторы, противоположные a и b?

1. Обозначим противоположные векторы как −a и −b. Замена вектора противоположным разворачивает его направление на 180°. Значит, направления обоих векторов одновременно меняются на противоположные.

2. Перенесём начала векторов в одну точку. Если повернуть оба луча на 180°, расположение одного относительно другого сохранится: промежуток между направлениями не изменится. Поэтому угол между −a и −b будет таким же, как между a и b.

3. В условии дан угол 125°, он находится в допустимом диапазоне от 0° до 180°. После одновременной замены обоих векторов на противоположные получим ту же величину, а не дополнительный угол 235°.

Ответ: 125°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что угол зависит от длин векторов. Так думают, потому что при рисунке длинные стрелки могут занимать больше места, чем короткие. Проверьте себя: мысленно измените длину одной стрелки, сохранив её направление, — угол останется прежним.

Ошибка: выбрать больший угол между лучами. Два луча задают два угла, и на чертеже легко принять за искомый тот, который выглядит нагляднее. Проверьте значение: угол между векторами всегда находится от 0° до 180°, поэтому больший угол, превышающий 180°, не подходит.

Ошибка: считать сонаправленными только векторы на одной прямой. Такое представление возникает из-за привычки сравнивать стрелки, нарисованные рядом. Но векторы могут лежать на разных параллельных прямых; перенесите их и сравните стороны, в которые они направлены. Если стрелки смотрят в одну сторону, векторы сонаправлены.

Ошибка: находить угол между нулевым и ненулевым векторами. Иногда нулевой вектор воспринимают как короткую стрелку, однако у него нет направления. Проверьте условие определения: оно требует ненулевых векторов, поэтому в этом случае угол не задан.

Связь с другими темами

Для работы с углом между векторами нужны понятия вектора, направленного отрезка, равных и противоположных векторов. Параллельность и перпендикулярность прямых помогают описывать взаимное расположение векторов, хотя направления стрелок тоже нужно учитывать. Позже угол между векторами понадобится при изучении скалярного произведения. Это понятие также позволяет применять векторы для решения геометрических задач, где важно сравнить направления.

Что запомнить

• Угол между векторами определяют для ненулевых векторов.
• Начала векторов для сравнения направлений совмещают переносом.
• Угол между векторами лежит в пределах от 0° до 180°.
• Для сонаправленных векторов угол равен 0°.
• Для противоположно направленных векторов угол равен 180°.
• Перпендикулярные векторы образуют угол 90°.