1.5. Угол между векторами

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — угол от 0° до 180°, который получают, если перенести векторы так, чтобы их начала совпали. Затем рассматривают лучи, направленные вдоль векторов. Это определение позволяет сравнивать векторы, даже если сначала они расположены в разных местах.

Сонаправленные векторы — векторы, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. После переноса к общему началу они идут по одному лучу. Поэтому угол между ними равен 0°.

Противоположно направленные векторы — параллельные векторы, направленные в разные стороны. При общем начале их лучи образуют развёрнутый угол. Поэтому угол между такими векторами равен 180°.

Перпендикулярные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Их направления после совмещения начал образуют прямой угол. Так перпендикулярность векторов связывается с уже знакомым свойством прямых.

Как это устроено

Векторы могут иметь разные начала, поэтому угол между ними нельзя сразу читать по чертежу как угол между двумя отрезками. Параллельный перенос сохраняет длину и направление каждого вектора, значит, перенос не меняет сам вектор. После переноса начала совпадают, и оба направления можно сравнить из одной точки.

Из общего начала строят два луча, направленные вдоль векторов. Между двумя лучами образуются меньший и больший углы, но для векторов выбирают меньший. Поэтому угол между ненулевыми векторами всегда находится от 0° до 180° включительно.

Если направления совпадают, лучи фактически накладываются друг на друга, и поворота от одного к другому нет: угол равен 0°. Если направления противоположны, чтобы перейти от одного луча к другому, нужен разворот на 180°. Так в общее определение включаются оба случая параллельных векторов.

Перпендикулярность означает образование прямого угла, а прямой угол равен 90°. Поэтому два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол между ними равен 90°. Параллельность не означает перпендикулярность: параллельные векторы имеют угол 0° или 180°.

Нулевой вектор нельзя сравнить с другим направлением таким же способом. У него начало и конец совпадают, поэтому нет стрелки с определённым направлением. По этой причине угол между нулевым и ненулевым векторами не задают.

Взаимное расположение ненулевых векторов и угол между ними

Чтобы пользоваться таблицей, сначала перенесите векторы к общему началу и сравните их направления. Затем определите, совпадают ли лучи, перпендикулярны ли они или лежат на одной прямой в разные стороны. Если ни один из этих случаев не подходит, угол будет косым.

Таблица относится только к ненулевым векторам. Для нулевого вектора направление отсутствует, поэтому строку о нём в такую классификацию не включают.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Векторы a и b сонаправлены. Найдите угол между ними.

1. Сонаправленность означает, что оба вектора указывают в одну сторону.
2. Перенесём их к общему началу: лучи, направленные вдоль a и b, совпадут.
3. Угол между совпадающими лучами равен 0°.

Ответ: 0°.

Задача 2

Условие: Даны точки A, B, C, D. Найдите угол между векторами AB и CD, если после параллельного переноса они оказываются перпендикулярными.

1. Переносим векторы AB и CD так, чтобы их начала совпали. Длина и направление каждого вектора при этом сохраняются.
2. По условию получившиеся направления образуют прямой угол. Значит, перенос не изменил взаимное расположение направлений, а только сделал его удобным для наблюдения.
3. Прямой угол равен 90°, поэтому угол между исходными векторами также равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 3

Условие: В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60°. Найдите угол между векторами AB и CD, а затем между AB и DC.

1. В параллелограмме стороны AB и CD параллельны, а стороны AB и DC имеют одинаковое направление при обходе фигуры: AB и DC сонаправлены.
2. Векторы AB и CD направлены противоположно: первый идёт от A к B, второй — от C к D.
3. Поэтому угол между AB и CD равен 180°, а между AB и DC — 0°. Значение угла BAD здесь не влияет на ответ, потому что спрашиваются направления параллельных сторон.

Ответ: ∠(AB, CD) = 180°, ∠(AB, DC) = 0°.

Типичные ошибки

Ошибка — считать углом между векторами любой угол между прямыми, на которых они лежат. Так делают, потому что прямые задают два направления без стрелок, а вектор имеет конкретное направление. Проверяйте, какие именно лучи задают стрелки векторов.

Ошибка — путать сонаправленные и противоположно направленные векторы. Параллельность прямых сама по себе не показывает, совпадают ли направления стрелок. Если стрелки смотрят в одну сторону, угол 0°, если в разные — 180°.

Ошибка — разворачивать вектор при его переносе. Параллельный перенос меняет только положение вектора, но не его длину и направление. После переноса мысленно сравните, куда указывает каждая стрелка.

Ошибка — задавать угол между нулевым и ненулевым векторами. У нулевого вектора начало совпадает с концом, поэтому направления у него нет. Если одна из стрелок имеет нулевую длину, угол определить нельзя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое вектор, его начало и конец, а также равные и противоположные векторы. Понадобится и параллельный перенос, сохраняющий характеристики вектора. Эти знания помогают правильно совместить начала.

Понятие угла между векторами связано с углами, параллельными и перпендикулярными прямыми. Оно переносит знакомые геометрические отношения на направленные отрезки. Поэтому важно учитывать не только положение, но и направление.

Позже угол между векторами понадобится при изучении скалярного произведения. Через него связывают алгебраическое выражение и геометрическое расположение векторов. Значения 0°, 90° и 180° помогают распознавать специальные случаи.

Что запомнить

• Угол между векторами задают после переноса к общему началу.
• Угол между ненулевыми векторами лежит от 0° до 180° включительно.
• Угол между сонаправленными векторами равен 0°.
• Угол между противоположно направленными векторами равен 180°.
• Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол между ними равен 90°.
• Угол между нулевым вектором и другим вектором не определён.