2.1. Угол между векторами

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — это угол от 0° до 180° между лучами, сонаправленными с этими векторами и имеющими общее начало. Сонаправленный луч указывает туда же, куда вектор, а его длина для определения угла не важна. Такое определение позволяет сравнивать направления векторов, даже если они приложены к разным точкам.

Сонаправленные векторы — векторы, направленные в одну сторону вдоль параллельных или совпадающих прямых; угол между ними равен 0°. Их длины могут быть различными. Это понятие помогает отличить совпадение направлений от равенства самих векторов.

Противоположно направленные векторы лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны, поэтому угол между ними равен 180°. Векторы при этом не обязаны иметь одинаковую длину. Такое направление удобно распознавать, когда один луч смотрит прямо назад относительно другого.

Перпендикулярные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Иначе говоря, их направления образуют прямой угол. Это определение позволяет говорить о перпендикулярности направлений, а не только о пересечении конкретных отрезков.

Как это устроено

Чтобы найти угол между векторами, у которых разные точки приложения, перенесите их параллельно самим себе к одной точке. При таком переносе длина и направление каждого вектора сохраняются: его можно сдвинуть, не поворачивая и не растягивая. Поэтому угол между получившимися лучами не зависит от того, где именно расположено общее начало.

Если векторы заданы направлением и длиной, длина не определяет угол: достаточно сопоставить направления. Совпадают направления — лучи накладываются и угол равен 0°; направлены в противоположные стороны — получается 180°. В остальных случаях можно приложить векторы к общему началу и измерить угол между лучами.

Для пары направлений возможны два способа обойти от одного к другому: в одну сторону и в другую. Один из полученных углов может быть больше 180°, но его не считают углом между векторами, поскольку определение выбирает меньший угол. Так значение всегда лежит в диапазоне от 0° до 180° включительно.

По чертежу сначала отметьте направления стрелок, перенесите их начала в одну точку и найдите угол между лучами. Меньше 90° — острый, ровно 90° — прямой, больше 90°, но меньше 180° — тупой, ровно 180° — развёрнутый. По координатам направления можно сравнивать после построения векторов или с помощью подходящих геометрических соотношений; важен итоговый угол, а не длины.

Нулевой вектор не задаёт направления: его начало и конец совпадают, поэтому он не указывает ни на какой луч. По этой причине нельзя построить луч, сонаправленный с нулевым вектором, и применить определение угла. Следовательно, угол между нулевым и ненулевым векторами не задан.

Виды углов между векторами

Сначала определите взаимное направление векторов, затем найдите соответствующее значение или диапазон угла. Для промежуточных случаев сравните угол с 90°: так можно отличить острый от тупого. Крайние значения 0° и 180° соответствуют сонаправленным и противоположно направленным векторам.

Разбор задач

Задача 1. Даны два ненулевых вектора с общим началом; по чертежу угол между их лучами равен 65°. Нужно определить угол между векторами и назвать его вид. Здесь направления уже показаны лучами, поэтому достаточно выбрать угол в допустимых пределах. Значение 65° меньше 90°.

1. Проверьте, что оба вектора ненулевые: только для них определён угол.
2. Найдите угол между лучами, сонаправленными с векторами; по условию он равен 65°.
3. Сравните 65° с 90°: угол меньше прямого, значит, он острый.

Ответ: угол между векторами равен 65°, он острый. Если на чертеже показаны два угла при пересечении прямых, выбирайте меньший из них, образованный именно направлениями векторов. Так не перепутаете угол между векторами с другим углом при пересечении.

Задача 2. В параллелограмме ABCD найдите угол между AB и DC, а затем между AB и CD. У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, но порядок букв задаёт направление вектора. Поэтому сначала сопоставим именно стрелки, а не только прямые, на которых лежат стороны.

1. Векторы AB и DC имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону: AB = DC.
2. Для сонаправленных векторов угол равен 0°.
3. Векторы AB и CD направлены по параллельным сторонам в противоположные стороны.
4. Для противоположно направленных векторов угол равен 180°.

Ответ: угол между AB и DC равен 0°, а между AB и CD — 180°. Равенство в первом случае подтверждает сонаправленность, а обратный порядок букв во втором меняет направление. Для угла важна стрелка, а не только расположение сторон.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между диагональю грани AB₁ и ребром AB. Перенесём оба вектора к общему началу A; они уже имеют его. В грани ABB₁A₁ отрезки AB и BB₁ — равные перпендикулярные рёбра, поэтому треугольник ABB₁ прямоугольный равнобедренный.

1. Рассмотрите треугольник ABB₁: угол при B равен 90°, а AB = BB₁.
2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике два острых угла равны, а вместе составляют 90°.
3. Значит, угол BАB₁ между векторами AB и AB₁ равен 45°.

Ответ: угол между диагональю грани AB₁ и ребром AB равен 45°. Переносить векторы здесь не пришлось, потому что их начала совпали; в общем случае такой перенос сохраняет и направление, и длину. Подходящий плоский треугольник позволяет увидеть нужный угол без измерений.

Типичные ошибки

Ошибка — считать углом между векторами любой угол при пересечении прямых, на которых они лежат. Её допускают, потому что прямые создают несколько углов, а стрелки векторов можно не заметить. Проверьте себя: приложите направления векторов к общему началу и выберите угол именно между соответствующими лучами.

Ошибка — выбирать угол больше 180°. Иногда при обходе от одного направления к другому такой угол кажется подходящим, но определение всегда требует значение от 0° до 180°. Чтобы проверить ответ, сравните его с развёрнутым углом: угол между векторами не может его превышать.

Ошибка — считать сонаправленные векторы обязательно равными. Такое смешение возникает потому, что оба понятия связаны с одинаковым направлением, однако равенство требует ещё и одинаковой длины. Для проверки сопоставьте стрелки отдельно от длин: если стрелки направлены одинаково, угол равен 0°, даже при разной длине.

Ошибка — определять угол между нулевым и ненулевым векторами. Нулевой вектор не указывает направление, поэтому нельзя построить сонаправленный ему луч; попытка приписать ему угол не соответствует определению. Проверьте, что оба вектора ненулевые, прежде чем искать угол.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия вектора, его длины, равных и противоположных векторов, а также параллельных и перпендикулярных прямых. Угол между векторами пригодится при изучении скалярного произведения и его геометрических приложений. Он также помогает решать задачи о взаимном расположении рёбер и диагоналей в плоских и пространственных фигурах.

Что запомнить

• Угол между векторами определён для двух ненулевых векторов.
• Для сравнения направлений векторы можно перенести к общему началу.
• Угол между векторами принимают от 0° до 180° включительно.
• У сонаправленных векторов угол равен 0°.
• У противоположно направленных векторов угол равен 180°.
• Перпендикулярные векторы образуют угол 90°.