89. Угол между векторами

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — угол от 0° до 180°, который образуют их сонаправленные представители с общим началом. Представитель — вектор той же длины и направления, перенесённый в другое место. Такое определение позволяет сравнивать направления векторов, даже если они заданы в разных точках.

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: (a, b) = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| обозначают длины векторов, а φ — угол между ними. Эта величина нужна, чтобы связывать направления и длины векторов в вычислениях.

Перпендикулярные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Скалярное произведение таких векторов равно нулю, поэтому перпендикулярность можно проверять вычислением. Условие о ненулевых векторах важно: у нулевого вектора нет направления.

Сонаправленные векторы образуют угол 0°, а противоположно направленные — угол 180°. В первом случае один вектор направлен так же, как другой, во втором — в обратную сторону. Эти названия помогают описать крайние значения угла между векторами.

Как это устроено

Векторы могут начинаться в разных точках, но угол сравнивает именно их направления. Поэтому один из них можно параллельно перенести, не меняя ни длины, ни направления, и совместить начала векторов. При переносе исходные направления сохраняются, значит, угол между полученными представителями не зависит от места, куда их переместили.

Формула скалярного произведения получается из проекции одного вектора на направление другого. Длина проекции вектора b на направление a равна |b| cos φ, где φ — угол между ними. Если умножить эту проекцию на длину |a|, получится (a, b) = |a||b| cos φ; результатом будет число, а не новый вектор.

Знак произведения определяется косинусом, потому что длины ненулевых векторов положительны. При остром угле cos φ положителен, при прямом равен нулю, при тупом отрицателен. Поэтому по знаку скалярного произведения можно определить вид угла, даже не вычисляя его точное значение.

Чтобы найти угол, преобразуйте формулу скалярного произведения: cos φ = (a, b) / (|a||b|). Сначала находят произведение и длины, затем делят на произведение длин и по полученному косинусу определяют угол от 0° до 180°. У ненулевых векторов значение отношения лежит между −1 и 1, что соответствует возможным значениям косинуса.

Если угол между ненулевыми векторами равен 90°, его косинус равен нулю, поэтому и скалярное произведение равно нулю. Обратное тоже верно: когда произведение равно нулю, а длины векторов не равны нулю, косинус угла равен нулю, значит, угол прямой. Так равенство (a, b) = 0 становится удобным признаком перпендикулярности.

Связь угла между векторами и их скалярного произведения

Сначала определите знак косинуса по виду угла, а затем — знак скалярного произведения: множитель |a||b| всегда положителен для ненулевых векторов. Таблица также помогает проверить ответ: например, отрицательное произведение не может соответствовать острому углу.

Разбор задач

Найти скалярное произведение по длинам и углу

Даны векторы a и b длинами 6 и 4, угол между ними равен 60°. Нужно найти (a, b). Поскольку известны обе длины и угол, удобнее сразу подставить их в формулу, не переходя к координатам.

1. Записываем формулу: (a, b) = |a||b| cos φ. Она показывает, что для вычисления нужны длины векторов и косинус угла.
2. Подставляем данные: (a, b) = 6 · 4 · cos 60°. Косинус 60° равен ½, поэтому произведение становится 24 · ½.
3. Выполняем умножение: 24 · ½ = 12. Положительный результат согласуется с тем, что угол 60° острый.

Ответ: 12.

Проверить перпендикулярность по координатам

Даны a = (2; 1) и b = (1; −2). Нужно выяснить, перпендикулярны ли векторы. По координатной формуле скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат; если результат нулевой, ненулевые векторы перпендикулярны.

1. Вычисляем произведение: (a, b) = 2 · 1 + 1 · (−2). Второе слагаемое отрицательно, потому что вторая координата b равна −2.
2. Получаем (a, b) = 2 − 2 = 0. Оба вектора ненулевые, поэтому можно применить признак перпендикулярности.
3. Делаем вывод: скалярное произведение равно нулю, значит, угол между векторами прямой. Значения длин отдельно находить не требуется.

Ответ: векторы перпендикулярны.

Найти угол по координатам

Даны a = (3; 4) и b = (4; 0). Требуется найти угол между ними. Сначала найдём произведение и длины, затем используем отношение для косинуса; так угол определится однозначно в пределах от 0° до 180°.

1. Находим скалярное произведение: (a, b) = 3 · 4 + 4 · 0 = 12. Координаты векторов перемножаются попарно, а результаты складываются.
2. Находим длины: |a| = √(3² + 4²) = 5, |b| = √(4² + 0²) = 4. Оба вектора ненулевые, поэтому формулу для косинуса можно применять.
3. Вычисляем cos φ = 12 / (5 · 4) = 3/5 = 0,6. Следовательно, φ = arccos 0,6 ≈ 53,1°; угол острый, что согласуется с положительным произведением.

Ответ: примерно 53,1°.

Типичные ошибки

Считать угол между векторами по направлениям, выбранным в разных точках, — ошибка: так можно получить не угол между их сонаправленными представителями. Её допускают, когда забывают, что сначала векторы нужно перенести к общему началу. Проверьте себя: мысленно совместите начала, сохранив длины и направления, и только после этого определяйте угол.

В формуле иногда оставляют только cos φ и забывают множители длин: (a, b) — не просто косинус. Это случается, если запомнить смысл формулы, но не её полную запись. Перед вычислением выпишите (a, b) = |a||b| cos φ и проверьте, что подставлены обе длины.

Для перпендикулярности иногда ошибочно требуют, чтобы скалярное произведение было равно единице. Путаница может возникнуть из-за того, что единица встречается при косинусе угла 0°. Проверьте условие: у перпендикулярных векторов cos 90° = 0, поэтому их произведение равно нулю.

Знак произведения можно неверно связать с видом угла, перепутав знаки косинуса. При остром угле косинус положителен, а при тупом — отрицателен, поскольку соответствующие углы лежат по разные стороны от 90°. Для самопроверки сравните угол с прямым: меньше 90° — произведение положительное, больше 90° — отрицательное.

Связь с другими темами

Для работы с углом между векторами нужны понятия вектора, его длины, координат, угла и косинуса. Координаты позволяют вычислять скалярное произведение, а длины — подставлять его в формулу для косинуса. Эти знания соединяют геометрические рассуждения с вычислениями.

Скалярное произведение пригодится при проверке перпендикулярности векторов и прямых, если направление прямой задано вектором. С его помощью также находят углы между направлениями и решают задачи координатным методом. Поэтому освоенная формула становится инструментом для более сложных геометрических задач.

Что запомнить

• Угол между векторами принимают от 0° до 180°.
• Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.
• Знак скалярного произведения определяется видом угла.
• Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает их перпендикулярность.
• Косинус угла равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов.
• Скалярное произведение двух векторов является числом, а не вектором.