"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Окружность можно задать не только на чертеже, но и уравнением: оно описывает координаты каждой её точки. Главная формула связывает координаты точки с центром и радиусом: сумма квадратов разностей координат равна квадрату радиуса. По этой записи можно определить положение окружности на координатной плоскости, а по уравнению с раскрытыми скобками — восстановить её центр и радиус. Это удобно при решении задач на точки и пересечения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Все точки, расстояние от которых до этой точки одинаково, образуют окружность. Это определение позволяет перейти от рисунка к вычислениям с координатами.
Центр окружности — точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначают буквой O или задают его координатами (a; b). Зная центр, можно описать положение окружности на координатной плоскости.
Радиус окружности — расстояние от её центра до любой точки окружности. Радиус обычно обозначают R, и он всегда положителен. Его значение задаёт размер окружности и входит в её уравнение.
Уравнение окружности — уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек окружности и только они. Иными словами, подстановка координат точки даёт верное равенство тогда и только тогда, когда точка лежит на окружности. Это свойство помогает как составлять уравнения, так и проверять принадлежность точки.
Пусть центр окружности находится в начале координат O(0; 0), а точка окружности имеет координаты (x; y). Расстояние от этой точки до начала координат по формуле расстояния равно √(x² + y²). По определению окружности оно должно равняться радиусу R. Возведя обе части равенства в квадрат, получаем уравнение x² + y² = R².
Если центр перенести в точку C(a; b), расстояние от точки (x; y) до него станет равно √((x − a)² + (y − b)²). Разности появляются потому, что расстояние измеряется между соответствующими координатами точки и центра. Приравниваем это расстояние к радиусу и возводим обе части в квадрат. Получаем (x − a)² + (y − b)² = R².
Уравнение уже в стандартном виде, если слева стоят квадраты разностей, а справа — число R². Координаты центра считывают из скобок с учётом знаков: в (x − a)² координата равна a, а в (y − b)² — b. Радиус равен положительному квадратному корню из правой части. Например, число 25 справа означает радиус 5, а не 25.
Чтобы преобразовать уравнение с раскрытыми скобками, сгруппируйте слагаемые с x и y и перенесите свободное число. Затем в каждой группе выделите полный квадрат: x² + Dx = (x + D/2)² − (D/2)². Аналогично преобразуют выражение с y, после чего постоянные слагаемые переносят в правую часть. Прибавлять недостающие числа нужно к обеим частям равенства, иначе равенство изменится.
Проверить, принадлежит ли точка окружности, можно прямой подстановкой. Вместо x и y в уравнение подставляют обе координаты точки, сохраняя скобки и знаки. Если после вычислений левая часть равна правой, точка лежит на окружности. Если значения различаются, точка окружности не принадлежит.
| Случай | Уравнение | Центр | Радиус |
|---|---|---|---|
| Центр в начале координат | x² + y² = R² | (0; 0) | R |
| Центр в точке (a; b) | (x − a)² + (y − b)² = R² | (a; b) | R |
| Уравнение приведено к стандартному виду | (x − a)² + (y − b)² = c | (a; b) | √c, если c > 0 |
| Уравнение записано с раскрытыми скобками | x² + y² + Dx + Ey + F = 0 | (−D/2; −E/2) | √((D/2)² + (E/2)² − F), если подкоренное выражение положительно |
Сначала выясните, к какому виду относится данное уравнение. В стандартном виде параметры читаются непосредственно, а в записи с раскрытыми скобками сначала нужно выделить полные квадраты. Если подкоренное выражение неположительно, действительной окружности с таким уравнением нет.
Для центра в начале координат используется формула x² + y² = R². Она следует из того, что расстояние от точки (x; y) до начала координат равно √(x² + y²).
Подставим заданный радиус R = 4. Справа получим R² = 4² = 16.
Записываем уравнение окружности: x² + y² = 16. В нём координаты любой точки окружности дают сумму квадратов, равную 16.
Ответ: x² + y² = 16.
Сравним уравнение со стандартной формой (x − a)² + (y − b)² = R². В правой части стоит 25, следовательно, квадрат радиуса равен 25.
В первой скобке записано x − 2, значит, первая координата центра равна 2. Во второй скобке y + 3 можно переписать как y − (−3), поэтому вторая координата центра равна −3.
Радиус — положительное число, квадрат которого равен 25, поэтому R = √25 = 5. Полученные параметры можно проверить, подставив центр и радиус в стандартную формулу.
Ответ: центр (2; −3), радиус 5.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и перенесём свободное число вправо: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12. Такой порядок помогает выделять квадраты отдельно для x и y.
Чтобы получить полный квадрат x² − 6x, прибавим квадрат половины коэффициента при x: (−6/2)² = 9. Для y² + 4y аналогично нужно прибавить (4/2)² = 4.
Добавим эти числа к обеим частям равенства: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4. Слева получаются квадраты двучленов, поэтому имеем (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
Сравнивая результат со стандартным видом, находим центр (3; −2). Правая часть равна R² = 25, значит, радиус R = 5.
Ответ: (x − 3)² + (y + 2)² = 25; центр (3; −2), радиус 5.
Ошибка — считать координатой центра число со знаком, который стоит внутри скобок. Например, из y + 3 ошибочно делают вывод, что координата равна 3, хотя y + 3 = y − (−3), и координата равна −3. Так ошибаются, потому что знак в скобках воспринимают как готовый знак координаты. Проверка: запишите выражение в форме переменная минус координата центра.
При выделении полного квадрата иногда прибавляют недостающее число только к левой части. Так равенство нарушается, даже если квадрат двучлена найден верно. Это происходит, когда забывают, что одинаковое действие нужно выполнить с обеими частями уравнения. Проверьте себя: каждое добавленное число слева должно появиться и справа.
Нельзя принимать число справа за радиус: в стандартном уравнении записан квадрат радиуса. Например, если справа стоит 25, радиус равен 5, а не 25. Путаница возникает из-за того, что радиус обозначают R, но в формуле используют R². Для самопроверки извлеките положительный квадратный корень из числа справа.
Для проверки точки недостаточно подставить одну координату или сравнить полученные числа приблизительно. Уравнение связывает обе координаты, поэтому нужно подставить и x, и y, а затем проверить точное равенство. Ошибка часто появляется из-за пропуска знака или арифметического шага. Пересчитайте левую часть и сравните её с правой без округления.
Для вывода уравнения нужна формула расстояния между двумя точками, а также умение читать координаты на плоскости. При преобразовании уравнений пригодятся раскрытие скобок и выделение полного квадрата двучлена. Эти алгебраические действия позволяют перейти от общей записи к центру и радиусу. Позже уравнение окружности применяют в задачах о пересечении окружностей с прямыми и в координатном методе геометрии.
Почему в уравнении окружности координаты записаны в скобках с вычитанием?
В скобках записаны разности координат точки окружности и центра: x − a и y − b. По формуле расстояния между точками квадраты этих разностей в сумме равны квадрату радиуса.
Как определить центр окружности, если в скобках стоит знак плюс?
Приведите выражение к виду разности с координатой центра. Например, y + 3 = y − (−3), поэтому координата центра по оси y равна −3.
Почему справа в уравнении стоит квадрат радиуса?
Уравнение получают из формулы расстояния от точки до центра, а в ней разности координат возводятся в квадрат. Расстояние равно радиусу, поэтому после возведения в квадрат справа получается R².
Как привести уравнение окружности с раскрытыми скобками к стандартному виду?
Сгруппируйте слагаемые с x и y, перенесите свободное число в другую часть равенства и выделите полные квадраты. Для этого к каждой группе прибавьте квадрат половины соответствующего коэффициента, не забывая сохранить равенство.
Как проверить, лежит ли точка на окружности?
Подставьте обе координаты точки вместо x и y в уравнение. Если левая часть равна правой, точка лежит на окружности; если равенства нет — не лежит.
90. Уравнение окружности
