91. Уравнение окружности

Определения и обозначения

Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром окружности. Например, если несколько точек находятся на одинаковом расстоянии от A, они лежат на одной окружности с центром A. Такое определение позволяет описать окружность через расстояние, а не только через рисунок.

Центр окружности — точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Его обычно обозначают заглавной буквой, например A. Положение центра определяет, где находится окружность на плоскости. Если центр задан координатами, его можно точно отметить на координатной плоскости.

Радиус окружности — расстояние от её центра до любой точки окружности; его обозначают буквой R. Радиус не зависит от того, какую точку на окружности мы выбрали: все такие расстояния одинаковы. Он задаёт размер окружности, а также позволяет проверить, принадлежит ли точка окружности. Радиус положителен, так как это расстояние между разными точками.

Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки окружности и не удовлетворяют координаты точек вне неё. В уравнение подставляют координаты точки, чтобы проверить, лежит ли она на окружности. Равенство задаёт именно границу, а не всю область внутри неё. Поэтому точки круга внутри окружности не обязаны удовлетворять этому уравнению.

Как это устроено

Пусть центр окружности имеет координаты A(a; b), а точка M(x; y) лежит на окружности радиуса R. По определению окружности расстояние AM равно R. Формула расстояния между точками даёт AM = √((x − a)² + (y − b)²). Разности x − a и y − b показывают, насколько координаты M отличаются от соответствующих координат центра A.

Получаем равенство √((x − a)² + (y − b)²) = R. Чтобы убрать квадратный корень, возводим обе части в квадрат: (x − a)² + (y − b)² = R². Квадрат x − a отвечает за изменение координаты по горизонтали, а квадрат y − b — по вертикали. Их сумма связана с квадратом расстояния, поэтому справа стоит квадрат радиуса, а не сам радиус.

Проверим и обратное утверждение. Если координаты M удовлетворяют уравнению (x − a)² + (y − b)² = R², то по формуле квадрата расстояния AM² = R². Поскольку расстояние и радиус положительны, из равенства их квадратов следует AM = R. Значит, M находится на расстоянии R от центра A и по определению лежит на окружности.

Если центр находится в начале координат, его координаты равны (0; 0). Тогда общее уравнение становится (x − 0)² + (y − 0)² = R², то есть x² + y² = R². Вычитание нуля не меняет координаты, поэтому скобки можно убрать. Эта формула подходит только для окружности с центром в начале координат.

По уравнению можно определить параметры окружности, если привести его к виду (x − a)² + (y − b)² = R². Координаты центра — a и b, а радиус — положительный квадратный корень из числа справа. Чтобы проверить точку, подставь её координаты вместо x и y. Если левая часть равна правой, точка лежит на окружности; иначе не лежит.

Уравнения окружности и их параметры

Сначала сравни данное уравнение с общим видом и найди числа a, b и R². Затем запиши центр A(a; b), а радиус определи как положительное число, квадрат которого равен правой части. Для проверки точки подставь её координаты в уравнение и сравни обе части.

Разбор задач

Составить уравнение окружности с центром A(0; 0) и радиусом 4

Нужно записать уравнение, которое выполняется для всех точек окружности с заданными центром и радиусом. Удобно начать с общего вида и подставить данные величины. Поскольку центр находится в начале координат, можно использовать и сокращённую формулу.

1. Общий вид уравнения: (x − a)² + (y − b)² = R².
2. Подставляем a = 0, b = 0 и R = 4: (x − 0)² + (y − 0)² = 4².
3. Упрощаем: x² + y² = 16.

Ответ: x² + y² = 16. Справа получилось 16, потому что в уравнении стоит квадрат радиуса, а не сам радиус. Проверить запись можно на точке (4; 0): она находится от начала координат на расстоянии 4.

Записать уравнение окружности с центром A(−2; 3) и радиусом 5

Координаты центра подставляются в скобки как x − a и y − b. Если координата центра отрицательная, её вычитание превращается в сложение. Следи за этим преобразованием, чтобы знаки в уравнении не перепутались.

1. Записываем общий вид: (x − a)² + (y − b)² = R².
2. Подставляем a = −2, b = 3 и R = 5: (x − (−2))² + (y − 3)² = 5².
3. Упрощаем скобки и возводим радиус в квадрат: (x + 2)² + (y − 3)² = 25.

Ответ: (x + 2)² + (y − 3)² = 25. В первой скобке стоит плюс, потому что координата центра по x равна −2. Центр исходной окружности — именно A(−2; 3), а не точка с противоположными координатами.

Определить, лежат ли точки B(1; 2) и C(4; 3) на окружности (x − 1)² + (y + 1)² = 25

Уравнение задано, поэтому координаты центра и радиус можно не искать, если требуется только проверить точки. Подстановка должна сохранять порядок: первая координата идёт вместо x, вторая — вместо y. Равенство выполняется только тогда, когда значение левой части равно 25.

1. Для B(1; 2): (1 − 1)² + (2 + 1)² = 0 + 9 = 9. Так как 9 ≠ 25, точка B не лежит на окружности.
2. Для C(4; 3): (4 − 1)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25. Левая часть равна правой, поэтому точка C лежит на окружности.
3. Записываем результат отдельно для каждой точки, так как принадлежность одной точки ничего не говорит о другой.

Ответ: B(1; 2) не лежит на окружности, C(4; 3) лежит. Для B получился квадрат расстояния, не равный квадрату радиуса. Для C он равен 25, значит, расстояние до центра равно радиусу.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что в скобках записаны координаты центра с теми же знаками, что и в уравнении. Это происходит из-за невнимания к вычитанию: x + 2 — то же самое, что x − (−2). Проверяй подстановкой: в выражении x − a число a должно быть координатой центра, поэтому при x + 2 центр имеет первую координату −2.

Ошибка: записать справа R вместо R². Так бывает, если забыть, что при переходе от AM = R к уравнению возводят в квадрат обе части. Самопроверка проста: подставь точку на расстоянии R от центра — сумма квадратов разностей координат должна получиться R².

Ошибка: считать, что уравнению окружности удовлетворяют все точки круга. Круг включает внутреннюю область, но равенство задаёт только границу, где расстояние до центра в точности равно R. Чтобы проверить себя, сравни расстояние: у внутренней точки оно меньше радиуса, значит, равенство не выполняется.

Ошибка: подставить координату x вместо y или наоборот. При этом вычисления могут выглядеть правдоподобно, но проверяется уже другая точка. Перед вычислением запиши координаты в порядке (x; y), затем подставь первое число вместо x, а второе — вместо y и проверь оба выражения отдельно.

Связь с другими темами

Для уравнения окружности нужны координаты точек на плоскости и формула расстояния между двумя точками. Без них нельзя связать координаты точки с расстоянием до центра. Поэтому полезно уметь находить разности координат и вычислять квадрат расстояния.

Уравнение пригодится при решении задач о взаимном расположении прямой и окружности. Например, по общим точкам можно выяснить, пересекает ли прямая окружность, касается её или не имеет с ней общих точек. Подстановка помогает перевести геометрический вопрос в вычисления.

Такая запись служит основой для изучения уравнений других линий на координатной плоскости. В каждом случае уравнение описывает связь между координатами точек линии. Это позволяет исследовать геометрические фигуры алгебраическими способами.

Что запомнить

• Уравнение окружности с центром A(a; b) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² = R².
• Координаты центра записываются в скобках со знаком, противоположным знаку в уравнении.
• Радиус окружности положителен.
• Для центра в начале координат уравнение имеет вид x² + y² = R².
• Точка лежит на окружности, если её координаты удовлетворяют уравнению.