74. Уравнение окружности

Определения и обозначения

Окружность — это множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности, а это одинаковое расстояние — её радиусом. Такое определение помогает отличить окружность от круга: окружность состоит только из точек на границе.

Координаты центра окружности — числа a и b, задающие его положение на координатной плоскости; центр записывают как (a; b). Например, точка (2; −1) отстоит на две единицы вправо и на одну вниз от начала координат. Эти числа нужны, чтобы записать положение окружности в уравнении.

Радиус окружности — расстояние R от центра до любой точки окружности. Он одинаков для всех точек этой окружности и всегда положителен: R > 0. Радиус задаёт размер окружности, поэтому его значение потребуется в формуле.

Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки окружности и не удовлетворяют координаты точек вне неё. Оно связывает координаты точки с координатами центра и радиусом. По уравнению можно описать окружность без её рисунка и проверить, лежит ли на ней заданная точка.

Как это устроено

Возьмём произвольную точку окружности с координатами (x; y), а центр обозначим (a; b). Разность x − a показывает, насколько точка смещена по горизонтали относительно центра, а y − b — по вертикали. По теореме Пифагора расстояние между ними равно √((x − a)² + (y − b)²), то есть формуле расстояния между двумя точками.

Поскольку выбранная точка лежит на окружности, расстояние от неё до центра равно радиусу R. Поэтому получаем √((x − a)² + (y − b)²) = R. Возводим обе части в квадрат: это допустимо, так как обе величины неотрицательны. Корень исчезает, и получается (x − a)² + (y − b)² = R².

Так выглядит уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R. В левой части стоят квадраты разностей координат точки и центра, а справа — квадрат радиуса. Чтобы найти центр, сравни выражение с общим видом и учитывай знак вычитания в скобках; радиус равен положительному корню из числа справа.

Если центр находится в начале координат, то a = 0 и b = 0. Подстановка в общий вид даёт x² + y² = R². Такая окружность симметрична относительно обеих координатных осей: вместе с каждой своей точкой она содержит точки, полученные отражением относительно оси x или оси y.

Проверить принадлежность точки можно подстановкой её координат в уравнение. Если после подстановки левая часть равна правой, точка лежит на окружности; если значения не совпали, не лежит. Например, при проверке точки (x; y) первое число ставят вместо x, а второе — вместо y.

Уравнения окружностей и их характеристики

Сначала определи, какой случай описан: центр может быть произвольным или находиться в начале координат. Затем сравни уравнение с нужной строкой таблицы, чтобы прочитать центр и радиус. Не забывай, что справа записан квадрат радиуса, поэтому при необходимости из этого числа нужно извлечь корень.

Разбор задач

Задача 1. Записать уравнение окружности с центром в точке (0; 0) и радиусом 3.

Центр уже находится в начале координат, поэтому удобнее использовать частный вид уравнения x² + y² = R². Радиус равен 3, значит, справа должен стоять его квадрат. Подставим значение и запишем уравнение.

1. Берём формулу для центра (0; 0): x² + y² = R².
2. Вместо R подставляем 3: R² = 3² = 9.
3. Получаем уравнение x² + y² = 9.

Ответ: x² + y² = 9. Здесь число 9 — квадрат радиуса, а не сам радиус.

Задача 2. Определить центр и радиус окружности (x − 2)² + (y + 1)² = 16.

Сопоставим уравнение с общей формой: (x − a)² + (y − b)² = R². В первой скобке сразу видно, что a = 2. Во второй скобке записано y + 1, то есть y − (−1), поэтому координата b отрицательная; число 16 справа является квадратом радиуса.

1. По скобке (x − 2)² определяем первую координату центра: a = 2.
2. Переписываем y + 1 как y − (−1), поэтому вторая координата центра b = −1.
3. Находим радиус: R² = 16, значит, R = 4, поскольку радиус положителен.

Ответ: центр (2; −1), радиус 4. Проверка знака второй координаты особенно полезна, когда в скобке стоит сложение.

Задача 3. Проверить, лежит ли точка (5; 3) на окружности (x − 2)² + (y − 1)² = 25.

У точки (5; 3) абсцисса равна 5, а ордината — 3. Подставим эти числа на соответствующие места в левой части уравнения, не меняя порядок координат. Затем сравним результат с правой частью, равной 25.

1. Подставляем x = 5 и y = 3: (5 − 2)² + (3 − 1)².
2. Вычисляем: 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
3. Сравниваем: 13 ≠ 25, следовательно, координаты точки не удовлетворяют уравнению.

Ответ: точка (5; 3) не лежит на окружности. Для точки на окружности результат подстановки должен был бы равняться 25.

Типичные ошибки

• Неверно читают координату центра из-за знака. В записи (x − a) центру соответствует a, а не −a; знак минус относится к действию вычитания. Ошибку допускают, если воспринимают число в скобке отдельно от знака, поэтому полезно подставить найденную координату: при a = 2 выражение будет x − 2.
• Записывают справа R вместо R². Это происходит, когда радиус узнают верно, но забывают, что после возведения расстояния в квадрат возводится и радиус. Проверь себя, подставив, например, R = 3: справа должно получиться 9.
• Считают, что уравнению удовлетворяют только точки окружности, но не проверяют точки внутри и вне её. Равенство действительно выполняется на окружности, а координаты точек внутри или снаружи обычно дают другую левую часть. Чтобы не спутать эти случаи, подставь координаты проверяемой точки и сравни обе части равенства.
• Переставляют координаты точки при подстановке. Так бывает, если забывают, что первая координата пары — абсцисса x, а вторая — ордината y. Сверь запись (x; y) с координатами точки: у (5; 3) вместо x подставляют 5, а вместо y — 3.

Связь с другими темами

Для понимания уравнения окружности нужны координаты точки на плоскости и формула расстояния между двумя точками. Именно расстояние позволяет связать координаты произвольной точки окружности с её центром, а затем получить уравнение через радиус. Если уверенно находить разности координат и возводить числа в квадрат, вывод формулы становится понятным.

Уравнение окружности пригодится при изучении координатного метода: геометрические условия в нём переводят на язык координат и вычислений. Оно также помогает исследовать взаимное расположение окружностей и прямых, а в задачах на плоскости позволяет проверять, принадлежит ли точка заданной окружности. Поэтому формула становится инструментом решения, а не только способом записи.

Что запомнить

• Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R имеет вид (x − a)² + (y − b)² = R².
• Центр окружности задаётся координатами (a; b), радиус — положительным числом R.
• В уравнении окружности в скобках стоят разности координат точки и центра.
• Если центр находится в начале координат, уравнение имеет вид x² + y² = R².
• Точка лежит на окружности, если её координаты удовлетворяют уравнению.