75. Уравнение прямой

Определения и обозначения

Уравнение прямой — это равенство, в котором участвуют координаты x и y, и координаты каждой точки прямой делают это равенство верным. Например, для прямой y = 2x + 1 точка (0; 1) подходит, потому что 1 = 2 · 0 + 1. Такое уравнение позволяет описать прямую числами, а не только рисунком. По нему можно выяснить, какие точки лежат на прямой.

Решить уравнение прямой — значит найти все пары координат (x; y), при которых равенство верно. Каждая такая пара задаёт точку на графике уравнения. Например, если x = 2 в уравнении y = 2x + 1, то y = 5, поэтому пара (2; 5) является решением. Понимание этого помогает и проверять точки, и находить точки для построения.

В записи y = kx + b число k называют угловым коэффициентом. Он задаёт наклон прямой: по его значению можно понять, поднимается или опускается линия при движении слева направо и насколько быстро меняется y. Если k = 0, значение y не меняется и прямая горизонтальна. Поэтому k помогает представить вид графика ещё до его построения.

Число b в записи y = kx + b называют свободным членом. Оно равно ординате точки, в которой прямая пересекает ось y: на этой оси x = 0, и тогда y = b. Например, при b = 3 прямая пересекает ось y в точке (0; 3). Это даёт одну точку графика сразу, без дополнительных вычислений.

Как это устроено

Чтобы проверить, принадлежит ли точка прямой, нужно подставить её координаты в уравнение: первая координата заменяет x, вторая — y. Например, для A(2; 5) и уравнения y = 2x + 1 получаем 5 = 2 · 2 + 1, то есть 5 = 5. Равенство верно, значит, точка лежит на прямой. Если после подстановки получились разные числа, координаты точки уравнению не удовлетворяют.

В уравнении y = kx + b можно выбрать любое число вместо x, а затем вычислить y. При фиксированном x результат один, потому что выражение kx + b имеет одно значение. Так возникают пары координат, которые можно отметить на плоскости; все они располагаются на одной прямой. Например, изменение x на одну и ту же величину каждый раз изменяет y на величину, зависящую от k, поэтому точки не образуют изгибающуюся линию.

Для построения прямой сначала находят координаты двух её точек. Выбирают два значения x, подставляют их в уравнение и вычисляют соответствующие y. Затем отмечают полученные точки на координатной плоскости и проводят через них прямую. Две точки определяют единственную прямую, поэтому одной точки для построения недостаточно.

Наклон и пересечение с осью y можно определить по записи y = kx + b. Значение k показывает, как меняется y при изменении x: если k положителен, прямая поднимается слева направо, а если отрицателен — опускается. Например, в уравнении y = −x + 3 коэффициент k = −1, значит, линия убывает. Число b = 3 указывает точку пересечения с осью y: (0; 3).

Уравнение y = kx + b не описывает вертикальную прямую, потому что в нём каждой координате x соответствует только одно значение y. У вертикальной прямой x постоянно и равно некоторому числу a, а координата y может быть разной. Поэтому её записывают уравнением x = a. Например, x = 2 задаёт все точки вида (2; y).

Как это устроено

Уравнение прямой и его график

Сначала прочитай запись и определи, какой вид прямой она задаёт. Для y = kx + b удобно сразу отметить точку (0; b), а вторую найти подстановкой. Если дана вертикальная прямая x = a, все её точки имеют одну и ту же координату x.

Разбор задач

Проверка принадлежности точки

Проверим, принадлежит ли точка A(2; 5) прямой y = 2x + 1. Нужно выяснить, удовлетворяют ли координаты точки уравнению: если да, точка находится на графике, если нет — не находится. Важно подставлять координаты в правильном порядке, иначе проверяется уже другая пара чисел. Сравним левую и правую части после подстановки.

1. В точке A(2; 5) первая координата — x = 2, а вторая — y = 5.
2. Подставим их в уравнение: 5 = 2 · 2 + 1.
3. Вычислим правую часть: 2 · 2 + 1 = 5. Получилось верное равенство 5 = 5.

Равенство выполнилось, значит, координаты точки подходят уравнению прямой. Ответ: точка A(2; 5) принадлежит прямой y = 2x + 1.

Построение прямой по уравнению

Построим прямую y = −x + 3. Для графика достаточно двух точек, поэтому удобно выбрать такие значения x, при которых вычисления просты. При x = 0 значение y сразу показывает пересечение с осью y. Второе значение можно взять равным 2, чтобы получить ещё одну целочисленную точку.

1. Положим x = 0. Тогда y = −0 + 3 = 3, получаем точку (0; 3).
2. Положим x = 2. Тогда y = −2 + 3 = 1, получаем точку (2; 1).
3. Отметим точки (0; 3) и (2; 1) на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Обе точки удовлетворяют уравнению, а через две различные точки проходит единственная прямая. Ответ: график y = −x + 3 проходит через точки (0; 3) и (2; 1); прямая, проведённая через них, и есть искомый график.

Нахождение уравнения по двум точкам

Найдём уравнение прямой через A(0; 2) и B(2; 6) в виде y = kx + b. Сначала используем точку с x = 0: при подстановке в формулу остаётся y = b, поэтому сразу можно определить свободный член. Затем сравним, на сколько изменились x и y при переходе от A к B. Это изменение позволяет найти наклон k и проверить результат по обеим точкам.

1. Для точки A(0; 2) подставим x = 0 и y = 2: 2 = k · 0 + b, откуда b = 2.
2. От A к B координата x увеличилась с 0 до 2, то есть на 2, а y — с 2 до 6, то есть на 4. Значит, на единицу изменения x приходится изменение y, равное 4 : 2 = 2, поэтому k = 2.
3. Подставим найденные значения в формулу: y = 2x + 2. Проверим точку A: 2 = 2 · 0 + 2; проверим B: 6 = 2 · 2 + 2. Оба равенства верны.

Полученное уравнение проходит через обе заданные точки, значит, коэффициенты выбраны правильно. Ответ: y = 2x + 2.

Типичные ошибки

Иногда координаты подставляют в неправильном порядке: первое число точки считают значением y, а второе — x. Так проверяется не заданная точка, а точка с переставленными координатами. Помни, что в записи (x; y) сначала указана абсцисса x, затем ордината y. Для самопроверки подпиши координаты до подстановки.

Ещё одна ошибка — считать, что наклон задаёт b, а пересечение с осью y — k. В записи y = kx + b роли чисел разные: k умножается на x, а b остаётся при x = 0. Чтобы проверить себя, подставь x = 0: получится y = b, а наклон оценивай по тому, как меняется y при изменении x.

При построении иногда отмечают только одну найденную точку и пытаются провести по ней график. Но через одну точку можно провести множество прямых, поэтому уравнение графика так определить нельзя. Найди ещё одну точку, подставив другое значение x. После этого проведи прямую через обе отмеченные точки.

Вертикальную прямую x = a иногда пытаются представить в виде y = kx + b. Однако при постоянном x на вертикальной прямой может быть много значений y, а формула y = kx + b задаёт для каждого x только одно значение y. Проверь, меняется ли x у точек прямой: если нет, используй запись x = a. Для неё не нужно искать угловой коэффициент в форме y = kx + b.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением прямой нужно уметь пользоваться координатной плоскостью и читать координаты точки: первое число показывает положение по оси x, второе — по оси y. Также понадобится подстановка чисел в выражение и вычисление его значения. Эти навыки помогают проверять точки и находить координаты для графика. Позже уравнение y = kx + b встретится при изучении линейной функции и графиков уравнений.

Что запомнить

• Координаты каждой точки прямой удовлетворяют её уравнению.
• Чтобы проверить принадлежность точки прямой, подставь её координаты в уравнение.
• График уравнения y = kx + b — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.
• В записи y = kx + b коэффициент k задаёт наклон прямой.
• В записи y = kx + b число b — ордината точки пересечения с осью y.
• Вертикальная прямая задаётся уравнением x = a.