76. Координаты точки пересечения прямых

Определения и обозначения

Координаты точки — упорядоченная пара чисел, которая задаёт положение точки на координатной плоскости. Первое число называют абсциссой и обозначают x, второе — ординатой и обозначают y. Порядок важен: запись (2; 5) обозначает не ту же точку, что (5; 2).

Уравнение прямой — равенство с координатами x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой прямой. Например, уравнение y = x верно для точек, у которых абсцисса и ордината равны. По уравнению можно определить, принадлежит ли заданная точка прямой.

Точка пересечения прямых — общая точка двух прямых. Её координаты подходят к уравнениям обеих прямых, потому что точка одновременно принадлежит каждой из них. Это свойство позволяет найти точку вычислением, даже если чертёж не дан.

Система уравнений — несколько равенств, которые должны выполняться одновременно. В задачах о двух прямых система состоит из уравнений этих прямых. Её решение — пара значений x и y, которая подходит каждому уравнению сразу.

Как это устроено

Прямую на координатной плоскости задают уравнением, потому что оно связывает координаты её точек. Например, на прямой y = 2x ордината каждой точки вдвое больше абсциссы. Если координаты точки принадлежат этой прямой, при подстановке они превращают уравнение в верное равенство; если равенство неверно, точка на прямой не лежит.

Чтобы найти общую точку двух прямых, недостаточно проверить принадлежность только одной из них. Так можно найти множество точек одной прямой, но среди них не все будут лежать на второй. Поэтому координаты искомой точки должны выполнять два условия одновременно — именно это и означает решение системы уравнений.

Составьте систему, записав рядом уравнения обеих прямых с общей парой неизвестных x и y. Затем используйте знакомый алгебраический приём: выразите одну переменную через другую или сложите уравнения так, чтобы одна переменная исчезла. Найдите сначала одно неизвестное, затем подставьте его в уравнение и вычислите второе.

Найденные значения образуют пару (x; y), то есть координаты возможной общей точки. Чтобы убедиться в ответе, подставьте эту пару отдельно в оба исходных уравнения. Если оба равенства верны, точка лежит на каждой прямой; если хотя бы одно неверно, при решении или записи ответа допущена ошибка.

Число решений системы связано с расположением прямых. При пересечении есть одна общая точка, а значит, система имеет одно решение. У параллельных различных прямых общих точек нет, поэтому решений нет; если прямые совпадают, каждая их точка общая и решений бесконечно много.

Связь между двумя прямыми и системой их уравнений

Сначала решите систему или определите, сколько у неё решений. Затем сопоставьте результат с таблицей: одно решение означает пересечение, а отсутствие решений — параллельные различные прямые. Бесконечно много решений означает, что уравнения задают одну и ту же прямую.

Разбор задач

Задача 1. Найдите координаты точки пересечения прямых y = x и y = 4 − x.

Обе прямые задают значение y через x. В общей точке эти два значения y должны совпасть, поэтому приравняем правые части. Полученные координаты проверим в исходных уравнениях.

1. Приравниваем выражения: x = 4 − x.
2. Переносим x влево: 2x = 4, значит, x = 2.
3. Подставляем x = 2 в y = x и получаем y = 2.
4. Проверяем: 2 = 2 и 2 = 4 − 2. Оба равенства верны.

Ответ: точка пересечения имеет координаты (2; 2).

Задача 2. Найдите точку пересечения прямых 2x + y = 7 и x − y = 2.

Координаты общей точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Удобно сложить равенства: при этом y и −y уничтожатся, и останется уравнение только с x. После этого найдём y и обязательно проверим пару в исходной системе.

1. Складываем уравнения: (2x + y) + (x − y) = 7 + 2, откуда 3x = 9.
2. Находим x: x = 3.
3. Подставляем x = 3 во второе уравнение: 3 − y = 2, значит, y = 1.
4. Проверяем первое уравнение: 2 · 3 + 1 = 7. Во втором тоже верно: 3 − 1 = 2.

Ответ: точка пересечения имеет координаты (3; 1).

Задача 3. Определите, пересекаются ли прямые 3x + 2y = 6 и 6x + 4y = 15; если пересекаются, найдите точку пересечения.

Сравним левые части: во втором уравнении коэффициенты при x и y вдвое больше, чем в первом. Если умножить первое равенство на 2, его левая часть совпадёт со второй, и мы увидим, могут ли оба условия выполняться одновременно.

1. Умножаем первое уравнение на 2: 6x + 4y = 12.
2. Во втором уравнении при такой же левой части стоит 15, а не 12.
3. Одновременно получить равенства 6x + 4y = 12 и 6x + 4y = 15 невозможно.

Система не имеет решений, следовательно, общей точки нет. Прямые параллельны и различны, поэтому координат точки пересечения не существует.

Типичные ошибки

• Можно записать найденные числа в обратном порядке и перепутать абсциссу с ординатой. Так происходит, если забыть, что x записывают первым, а y — вторым. Перед ответом сверьте подстановку: первое найденное число должно быть значением x, второе — значением y.

• Иногда решают только одно уравнение и считают любую его точку точкой пересечения. Но такое решение подтверждает принадлежность лишь одной прямой, а искомая точка должна лежать на обеих. Проверьте пару подстановкой в оба уравнения системы.

• Если не проверить вычисления подстановкой, ошибка при переносе слагаемого или делении может остаться незамеченной. Обычно результат кажется правдоподобным, но одно из равенств не выполняется. Подставьте оба числа отдельно в каждое исходное уравнение и проверьте равенства.

• Можно ошибочно решить, что любые две разные прямые пересекаются ровно в одной точке. На самом деле параллельные различные прямые не имеют общих точек. Сопоставьте расположение прямых с системой: отсутствие решений означает, что пересечения нет.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь отмечать точки по координатам и считывать координаты с координатной плоскости. Это помогает понимать, как пара чисел связана с положением точки. Также полезно знать, что первое число в записи отвечает за движение по оси x, а второе — по оси y.

Для вычислений понадобятся преобразования линейных уравнений и способы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. Умение выразить переменную или сложить уравнения сокращает путь к координатам общей точки. Если система не имеет решения, это тоже позволяет сделать геометрический вывод о прямых.

Координаты точки пересечения пригодятся в геометрических задачах, решаемых координатным методом. Вместо поиска общей точки только по чертежу можно использовать уравнения и вычисления. Позднее этот подход поможет разбирать уравнения прямых и их взаимное расположение.

Что запомнить

• Точка принадлежит прямой, если её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.
• Координаты точки пересечения удовлетворяют уравнениям обеих прямых.
• Чтобы найти точку пересечения, решают систему уравнений прямых.
• Первое число в паре координат — абсцисса x, второе — ордината y.
• Решение системы проверяют подстановкой в оба уравнения.
• Одна общая точка соответствует пересечению прямых; отсутствие общих точек — параллельным различным прямым.