"Геометрия", Погорелов А.В.
Уравнение прямой помогает описать её положение на координатной плоскости и проверить, принадлежит ли ей заданная точка. Если у всех точек прямой одинаковая абсцисса или ордината, прямая параллельна одной из осей. Если прямая пересекает обе оси, её расположение можно изучить по координатам точек пересечения. Эти способы связывают геометрическую картину с вычислениями и пригодятся при построении графиков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная прямая — прямая, параллельная одной из координатных осей. Если у всех её точек одинаковая абсцисса, например x = 3, прямая параллельна оси ординат; если одинаковая ордината, например y = 2, — оси абсцисс. Это позволяет определить направление прямой, не строя её целиком.
Уравнение прямой — равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой прямой. Например, для прямой 2x + y = 6 подходят пары координат, при подстановке которых равенство становится верным. Все такие пары задают точки прямой, поэтому уравнение связывает вычисления с её геометрическим изображением.
Точка пересечения с осью — точка, в которой прямая встречается с этой осью. Отрезок от начала координат до точки пересечения называют отрезком прямой на оси; его длина равна модулю координаты точки, которая не равна нулю. Например, отрезок до точки (−3; 0) имеет длину 3, а не −3. Это помогает различать координату и геометрическую длину.
Ось ординат вертикальна, поэтому любая прямая, параллельная ей, тоже направлена вертикально. На такой прямой точки не смещаются вправо или влево, а значит, их абсцисса x не меняется. Меняется только ордината y: например, на прямой x = 3 могут лежать точки (3; 0) и (3; 5). Для прямой, параллельной горизонтальной оси абсцисс, рассуждение обратное: высота не меняется, поэтому постоянна y.
Постоянную координату записывают в уравнении: x = a задаёт прямую, параллельную оси ординат, а y = b — прямую, параллельную оси абсцисс. Буквы a и b обозначают фиксированные числа. Чтобы распознать положение прямой, достаточно посмотреть, какая координата указана отдельно и не зависит от другой. Например, x = −2 означает, что все точки находятся на одинаковом расстоянии по горизонтали от оси ординат.
Чтобы найти пересечение с осью абсцисс, используют то, что у каждой точки этой оси y = 0. Подставляют ноль вместо y в уравнение и находят x; для пересечения с осью ординат поступают наоборот, полагая x = 0. Так находят именно точки, принадлежащие одновременно и прямой, и нужной оси. Если при подстановке получается невозможное равенство, пересечения с этой осью нет.
Координаты пересечений показывают, как прямая проходит по плоскости. Точка (a; 0) лежит справа от начала координат при a > 0 и слева при a < 0; точка (0; b) лежит выше начала при b > 0 и ниже при b < 0. Но для определения четвертей нужно учитывать знаки обеих координат у точек прямой, а не только сами пересечения. Между пересечениями и за ними знаки x и y могут сочетаться по-разному.
При проверке точки координаты подставляют в уравнение вместо соответствующих букв: абсциссу — вместо x, ординату — вместо y. Равенство должно оказаться верным, иначе точка не принадлежит прямой. Такая проверка надёжнее догадки по рисунку, особенно если точка расположена близко к линии. Она также позволяет проверить найденные при построении точки.
| Расположение прямой | Уравнение | Что постоянно или чему равна координата | Пересечение с осями |
|---|---|---|---|
| Параллельна оси ординат | x = a | Абсцисса x = a | Пересекает ось абсцисс в (a; 0); ось ординат — только при a = 0 |
| Параллельна оси абсцисс | y = b | Ордината y = b | Пересекает ось ординат в (0; b); ось абсцисс — только при b = 0 |
| Пересекает обе оси | Например, 2x + y = 6 | Обе координаты могут меняться | Точки находятся подстановкой y = 0 и x = 0 |
Сначала найдите в уравнении постоянную координату: так распознают прямые, параллельные осям. Затем проверьте пересечения, подставляя ноль вместо координаты, равной нулю на выбранной оси. Для прямой, пересекающей обе оси, точки пересечения удобно использовать, чтобы понять её положение и построить прямую.
Задача 1. Определить, какой оси параллельна прямая x = 3, и указать координаты двух её точек.
Ответ: прямая параллельна оси ординат; две её точки — (3; 0) и (3; 2).
Задача 2. Найти точки пересечения прямой 2x + y = 6 с координатными осями.
Ответ: с осью абсцисс прямая пересекается в точке (3; 0), с осью ординат — в точке (0; 6).
Задача 3. Определить, лежит ли A(2; 2) на прямой 2x + y = 6, и установить, в каких четвертях расположены точки этой прямой.
Ответ: A(2; 2) лежит на прямой; прямая проходит через I, II и IV четверти.
Путать оси. Уравнение x = a иногда принимают за описание прямой, параллельной оси абсцисс, потому что в записи стоит x. Но x — постоянная абсцисса, поэтому точки выстраиваются вертикально, параллельно оси ординат. Проверьте себя: на прямой x = a меняйте y — если точки остаются на ней, направление выбрано правильно.
Неверно подставлять ноль для пересечения. При поиске точки на оси абсцисс ошибочно полагают x = 0. На этой оси нулевая ордината, то есть y = 0; x = 0 используют для оси ординат. Перед вычислением назовите координату, которая равна нулю на нужной оси.
Считать, что любая пара чисел подходит к уравнению. Числа становятся координатами точки на прямой только тогда, когда после подстановки равенство верно. Ошибка возникает, если принять запись уравнения за простое обозначение без проверки. Подставьте оба числа на свои места и выполните вычисления.
Определять четверти по одному отрезку прямой. Наличие пересечений с осями не показывает, где расположена вся бесконечная прямая: её части могут продолжаться в другие четверти. Проверяйте знаки и x, и y на участках до, между и после пересечений. Подстановка выражения для одной координаты или выбор контрольных точек помогает не пропустить продолжение.
Для работы с прямыми нужны знания о прямоугольной системе координат: где находятся оси, как задаются координаты точки и как плоскость делится на четверти. Без этого трудно верно прочитать пару (x; y) и понять, на какой оси лежит точка. Уравнения прямых понадобятся при построении графиков линейных зависимостей: найденные точки помогают провести график. Координатный метод также позволяет решать геометрические задачи вычислениями, заменяя часть рассуждений о рисунке проверкой координат.
Почему у прямой, параллельной оси ординат, постоянна координата x?
Ось ординат направлена вертикально, поэтому параллельная ей прямая тоже идёт вертикально. При движении вдоль такой прямой меняется y, а положение по горизонтали, то есть x, остаётся одним и тем же.
Как по уравнению понять, параллельна ли прямая координатной оси?
Если уравнение имеет вид x = a, абсцисса всех точек постоянна, значит, прямая параллельна оси ординат. Если оно имеет вид y = b, постоянна ордината, поэтому прямая параллельна оси абсцисс.
Как найти точку пересечения прямой с осью абсцисс?
На оси абсцисс ордината любой точки равна нулю. Поэтому в уравнение прямой подставляют y = 0 и находят x; полученная точка имеет координаты (x; 0).
Как проверить, лежит ли заданная точка на прямой?
Подставьте абсциссу и ординату точки вместо x и y в уравнение прямой. Если после подстановки получается верное равенство, точка лежит на прямой; если неверное — не лежит.
Может ли прямая не пересекать одну из координатных осей?
Да. Например, прямая x = 3 параллельна оси ординат и не пересекает её, хотя пересекает ось абсцисс. Прямая y = 2, наоборот, пересекает ось ординат, но не ось абсцисс.
77. Расположение прямой относительно системы координат
