"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Уравнение прямой связывает координаты x и y всех точек одной прямой. Оно позволяет описывать прямую алгебраически, строить её на координатной плоскости, находить пересечения с осями и проверять принадлежность точки. Главное представление — y = kx + b: число k задаёт наклон, а b показывает пересечение с осью Oy. Для вертикальных прямых используют общее уравнение Ax + By + C = 0.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение прямой — равенство с координатами x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки прямой и только её точек. Иными словами, оно отбирает на плоскости ровно те точки, которые лежат на данной прямой. Это позволяет изучать геометрический объект с помощью алгебры.
Угловой коэффициент — число k в уравнении y = kx + b. Он задаёт наклон прямой к положительному направлению оси Ox: чем больше k, тем быстрее растёт y при увеличении x. По знаку k можно понять, возрастает прямая или убывает.
Свободный член — число b в уравнении y = kx + b. Он равен ординате точки, в которой прямая пересекает ось Oy, потому что на этой оси x = 0. Поэтому b помогает сразу отметить одну точку графика.
Общее уравнение прямой — уравнение вида Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно. Буквы A, B и C обозначают постоянные числа. Такая запись подходит и для вертикальных прямых, которые нельзя представить в виде y = kx + b.
Каждая точка координатной плоскости задаётся парой чисел (x; y). Если точки принадлежат одной прямой, их координаты связаны общим условием, например y = 2x + 1. Выбирая разные x и вычисляя y, мы получаем разные точки одной и той же прямой, потому что все пары чисел удовлетворяют одному правилу.
В уравнении y = kx + b число k показывает, насколько изменится y, если x увеличить на единицу. При k > 0 значение y растёт, поэтому прямая поднимается слева направо; при k < 0 она опускается. Если k = 0, получается горизонтальная прямая y = b. Число b задаёт начальную высоту: при x = 0 имеем y = b, значит, график проходит через точку (0; b).
Чтобы построить прямую y = kx + b, достаточно найти две её точки, ведь через две различные точки проходит единственная прямая. Выберите удобные значения x, подставьте их в уравнение и получите соответствующие y. Затем отметьте пары координат на плоскости и соедините точки прямой линией. Например, для y = 2x + 1 при x = 0 получаем точку (0; 1), а при x = 1 — точку (1; 3).
Рассмотрим общее уравнение Ax + By + C = 0. Если B ≠ 0, перенесём Ax и C в правую часть и разделим на B: y = −A/B · x − C/B, то есть получим вид y = kx + b. Если B = 0, уравнение превращается в Ax + C = 0, или x = −C/A. Все точки такой прямой имеют одну абсциссу, поэтому она вертикальна и не задаётся формулой y = kx + b.
Для прямой через две точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) сначала находят её наклон: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), если x₁ ≠ x₂. Важно вычитать координаты в одинаковом порядке: сначала координаты второй точки минус координаты первой и в числителе, и в знаменателе. После этого подставляют координаты любой известной точки в y = kx + b и находят b.
Таблица помогает выбрать удобную запись прямой и быстро понять смысл её коэффициентов. В первой строке указаны основные формы уравнения, а в остальных — свойства, которые можно определить по записи. При решении задачи сначала выясните, какая информация дана и какой вид уравнения удобнее использовать.
| Вид уравнения | Что можно определить по коэффициентам | Особенности |
|---|---|---|
| y = kx + b | Наклон прямой определяется числом k | Удобно строить график и сравнивать прямые |
| y = kx + b | Пересечение с осью Oy определяется числом b | Точка пересечения имеет координаты (0; b) |
| Ax + By + C = 0 | Коэффициенты A, B и C задают положение прямой | Подходит для вертикальных прямых |
| Ax + By + C = 0 | При B ≠ 0 можно получить k = −A/B | Преобразуется к виду y = kx + b |
| Ax + By + C = 0 | При B = 0 получается x = −C/A | Это вертикальная прямая |
| y = kx + b | Знак k показывает направление наклона | При k = 0 прямая горизонтальна |
Например, в уравнении y = −3x + 5 число −3 показывает убывание прямой, а число 5 — её пересечение с осью Oy в точке (0; 5). В общем уравнении сначала проверяют, равен ли B нулю.
Построить прямую y = 2x − 1 и определить координаты точек её пересечения с осями координат. Для построения нужны любые две точки, а для пересечений удобно отдельно использовать условия x = 0 и y = 0.
Ответ: для построения подходят точки (0; −1) и (1; 1). С осью Oy прямая пересекается в точке (0; −1), а с осью Ox — в точке (½; 0).
Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом −3, проходящей через точку (2; 1). Известно число k, поэтому остаётся определить свободный член b.
Ответ: уравнение прямой имеет вид y = −3x + 7. Проверка даёт 1 = −3 · 2 + 7, поэтому точка действительно принадлежит прямой.
Составить уравнение прямой через точки A(−1; 4) и B(3; −2), а затем проверить, принадлежит ли ей точка C(1; 1). Сначала найдём наклон по двум данным точкам, затем восстановим всю формулу.
Ответ: y = −3/2x + 5/2. Точка C(1; 1) принадлежит этой прямой.
Ошибка: считать, что k — это сам угол наклона. На самом деле k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению Ox: k = tg α. Проверяйте себя по направлению прямой: знак k показывает возрастание или убывание, но не величину угла в градусах.
Ошибка: искать пересечение с Oy, полагая y = 0. На оси Oy абсцисса всегда равна нулю, поэтому нужно подставлять x = 0. Для оси Ox, наоборот, используют y = 0.
Ошибка: перепутать порядок вычитания координат при вычислении k. Если в числителе взято y₂ − y₁, в знаменателе должно быть x₂ − x₁. Перед вычислением подпишите координаты одной и той же точки как первые, а другой — как вторые.
Ошибка: сразу делить общее уравнение на B. Сначала проверьте, что B ≠ 0: при B = 0 деление невозможно, а прямая имеет вид x = a и является вертикальной. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы проверить преобразование.
До изучения уравнения прямой нужно уметь работать с координатной плоскостью, строить точки по заданным координатам и решать линейные уравнения. Эти навыки превращают алгебраическую запись в наглядный график и помогают выполнять вычисления без лишних действий.
Уравнение прямой используется при изучении взаимного расположения прямых и поиске их точки пересечения. Оно также помогает описывать геометрические фигуры аналитически: вместо чертежа можно работать с координатами и уравнениями.
Как понять, лежит ли точка на прямой?
Подставьте координаты точки вместо x и y в уравнение прямой. Если равенство верно, точка принадлежит прямой; если нет, точка находится вне неё.
Как построить прямую по её уравнению?
Выберите два удобных значения x и вычислите соответствующие значения y. Отметьте полученные точки на координатной плоскости и проведите через них прямую.
Что показывает угловой коэффициент?
Угловой коэффициент k показывает наклон прямой: при увеличении x на 1 значение y изменяется на k. Если k > 0, прямая возрастает, а если k < 0, убывает.
Как составить уравнение прямой по двум точкам?
Сначала найдите угловой коэффициент по формуле k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Затем подставьте координаты одной точки в y = kx + b и найдите b.
Почему не всякую прямую можно записать в виде y = kx + b?
Такой вид не подходит для вертикальной прямой, у которой все точки имеют одну и ту же абсциссу. Её уравнение имеет вид x = a и получается из общего уравнения при B = 0.
3.3. Уравнение прямой
