"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Окружность на координатной плоскости можно задать уравнением: оно описывает все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра. Стандартная запись связывает координаты любой точки окружности с координатами центра и радиусом. По ней можно составить уравнение, если известны центр и радиус, а также восстановить эти данные по самому уравнению. Это помогает решать геометрические задачи с помощью координат и алгебры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — это множество точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности; обычно её обозначают O. Определение помогает отличить окружность от круга: окружность состоит только из точек границы, а круг включает и внутреннюю область.
Радиус окружности — отрезок от её центра до любой точки окружности, а его длину обозначают r. Все радиусы одной окружности равны, поэтому достаточно знать центр и длину радиуса, чтобы определить положение окружности на плоскости. В координатной записи координаты центра обозначают (a; b), а координаты произвольной точки — (x; y).
Уравнением окружности называют равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки окружности и не удовлетворяют координаты точек вне неё. Если центр окружности O(a; b), а радиус равен r, то уравнение имеет вид (x − a)² + (y − b)² = r². Оно нужно, чтобы описывать геометрический объект алгебраически и решать задачи о его точках.
Чтобы понять формулу, возьмём произвольную точку M(x; y) и центр O(a; b). По определению окружности расстояние OM должно равняться радиусу r. Формула расстояния между точками даёт OM = √((x − a)² + (y − b)²), поэтому условие OM = r после возведения обеих частей в квадрат превращается в (x − a)² + (y − b)² = r². Квадрат избавляет от корня, но смысл условия остаётся прежним: расстояние до центра фиксировано.
В записи (x − a)² + (y − b)² = r² координаты центра стоят со знаками, обратными тем, которые видны внутри скобок. Например, выражение (x − 3)² означает, что первая координата центра равна 3, а (y + 2)² можно переписать как (y − (−2))², значит, вторая координата равна −2. Такой порядок возникает из разности координаты точки и координаты центра. Проверять знак удобно, подставляя координаты предполагаемого центра: оба выражения в скобках должны обратиться в ноль.
Если центр расположен в начале координат, то a = 0 и b = 0. Тогда уравнение упрощается до x² + y² = r², поскольку расстояние от точки (x; y) до начала координат равно √(x² + y²). В частности, у окружности x² + y² = 25 центр — (0; 0), а радиус равен 5. Правая часть уравнения здесь не сам радиус, а квадрат радиуса.
Иногда уравнение дано не в стандартном виде, а, например, как x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Чтобы найти центр и радиус, нужно сгруппировать слагаемые с x и y и выделить квадраты: x² − 6x = (x − 3)² − 9, y² + 4y = (y + 2)² − 4. После переноса чисел получаем (x − 3)² + (y + 2)² = 25, откуда центр равен (3; −2), а радиус — 5. Этот приём работает благодаря формуле квадрата суммы или разности.
Уравнение можно использовать и для проверки точки. Если дана точка, подставляют вместо x и y её координаты: при верном равенстве точка лежит на окружности, при неверном — нет. Например, для окружности x² + y² = 25 точка (3; 4) подходит, потому что 3² + 4² = 25. Точка (2; 4) не подходит, так как 2² + 4² = 20.
| Что известно или дано | Как найти или записать | Пример |
|---|---|---|
| Центр O(a; b) и радиус r | (x − a)² + (y − b)² = r² | O(2; −1), r = 3: (x − 2)² + (y + 1)² = 9 |
| Центр в начале координат и радиус r | x² + y² = r² | r = 4: x² + y² = 16 |
| Общий вид x² + y² + Ax + By + C = 0 | Центр (−A/2; −B/2), r² = A²/4 + B²/4 − C | x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0: центр (3; −2), r = 5 |
Сначала определите, в каком виде записано условие: стандартном или общем. В стандартном виде центр читается из скобок, а радиус — как квадратный корень из правой части. В общем виде удобно выделить полные квадраты и привести уравнение к стандартному.
Задача. Составить уравнение окружности с центром O(−2; 3), проходящей через точку A(1; 7). Затем проверить, лежит ли на ней точка B(−2; 7). Неизвестен только радиус, поэтому сначала найдём расстояние от центра до известной точки окружности. После этого подставим центр и радиус в стандартную формулу и отдельно проверим точку B.
Ответ: уравнение окружности — (x + 2)² + (y − 3)² = 25; точка B(−2; 7) окружности не принадлежит. В задаче сначала использовали определение радиуса, а затем — уравнение, которое описывает все точки на найденном расстоянии от центра. Подстановка координат служит быстрой проверкой каждого результата.
Путать знак координаты центра. Например, из (x + 2)² ошибочно заключают, что первая координата центра равна 2. Так происходит, потому что знак внутри скобок воспринимают как саму координату, хотя там записана разность x − a. Перепишите x + 2 как x − (−2) и проверьте, что при x = −2 скобка становится нулём.
Записывать радиус вместо его квадрата. Для окружности с радиусом 5 справа должно стоять 25, а не 5. Ошибка появляется при прямой подстановке значения r в формулу, где стоит r². Перед ответом возведите радиус в квадрат и проверьте уравнение на известной точке окружности.
Считать, что любая точка из уравнения подходит. Координаты точки нужно подставить в обе части равенства и сравнить результаты. Часто проверяют только одно слагаемое или допускают арифметическую ошибку при возведении в квадрат. Выполните вычисления отдельно и убедитесь, что сумма квадратов равна именно r².
Неверно находить радиус по общему уравнению. После выделения квадратов свободные числа нужно перенести на другую сторону и лишь затем извлечь корень. Если правая часть равна r², нельзя принять её за радиус. Проверьте результат обратной подстановкой: после раскрытия скобок должно получиться исходное уравнение.
Уравнение окружности опирается на координаты точек и формулу расстояния между ними, поэтому связывает геометрию с алгеброй. Выделение квадратов использует формулы сокращённого умножения, знакомые по алгебре. На координатной плоскости окружность можно сопоставлять с прямой и другими графиками, а их общие точки находить решением системы уравнений. Так геометрическое пересечение превращается в задачу на вычисление координат.
3.2. Уравнение окружности
