3.1. Декартова система координат

Определения и обозначения

Декартова система координат — две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта и единой единицей масштаба. Проще говоря, это две числовые прямые, пересекающиеся под прямым углом. С их помощью положение точки на плоскости можно описать числами, а не только словами.

Координатные оси — ось абсцисс Ox и ось ординат Oy, задающие направления и отсчёт координат. Ось Ox обычно изображают горизонтально, а Oy — вертикально. Обозначения показывают, вдоль какой оси измеряется каждое число пары.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), определяющая положение точки на плоскости. Первое число x называют абсциссой, второе y — ординатой. Порядок важен: перестановка чисел обычно задаёт другую точку.

Координатная плоскость — плоскость, на которой положение каждой точки задаётся её координатами. Оси делят её на области, а числа показывают, насколько далеко и в каком направлении находится точка от их пересечения. Это позволяет строить точки и сравнивать их расположение.

Как это устроено

Одна числовая ось сообщает только расстояние и направление вдоль прямой, поэтому её недостаточно, чтобы указать любую точку на плоскости. Вторая ось добавляет независимое направление, перпендикулярное первому. Поскольку оси пересекаются в общей точке, положение можно отсчитывать от одного и того же начала. Так две величины однозначно задают положение точки: смещение по горизонтали и по вертикали.

Сначала выбирают начало координат O — точку пересечения осей, затем отмечают положительное направление каждой оси. На обеих осях задают единичный отрезок, то есть длину, принимаемую за единицу. Единый масштаб нужен, чтобы одно и то же число означало одинаковое расстояние на разных осях. Вместе эти элементы образуют систему, пригодную для точного отсчёта в любом направлении.

Чтобы найти координаты точки, из неё опускают перпендикуляры на обе оси: полученные проекции показывают, где точка расположена по каждому направлению. По Ox считывают абсциссу x, по Oy — ординату y. Сначала записывают x, потому что координатная пара условлена именно в порядке (x; y), а не наоборот. Например, запись (2; −3) означает два шага вправо и три вниз от начала координат.

Знак числа показывает направление отсчёта: положительные значения откладывают по выбранному положительному направлению, отрицательные — в противоположную сторону. Знаки обеих координат определяют четверть: (+; +) — I, (−; +) — II, (−; −) — III, (+; −) — IV. Четверти нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой. Если координата равна нулю, точка лежит на оси, а не внутри четверти.

Построение выполняют в обратном порядке: сначала от O откладывают значение x по Ox, затем из этого положения перемещаются параллельно Oy на значение y. Перпендикулярность осей гарантирует, что оба смещения можно задать независимо. Поэтому одной паре чисел соответствует единственное место пересечения соответствующих направлений. И наоборот, у каждой точки есть ровно одна пара координат.

Элементы декартовой системы координат и их назначение

Используйте таблицу как памятку: сначала выясните, какая ось отвечает за нужную координату, затем проверьте обозначение и назначение элемента. При чтении пары (x; y) сверяйте порядок с названиями осей. Для определения четверти понадобятся сразу оба знака.

Разбор задач

Четверть или координатная ось

Для точек A(−3; 4), B(2; −5), C(0; 6) определим, где расположена каждая. У каждой точки сначала проверяем обе координаты, а если одна из них равна нулю, отдельно учитываем оси. Такой порядок не позволяет ошибочно отнести точку на оси к четверти.

1. У точки A абсцисса отрицательная, а ордината положительная. По правилу знаков это II четверть.
2. У точки B абсцисса положительная, ордината отрицательная. Значит, B находится в IV четверти.
3. У точки C абсцисса равна нулю, поэтому она лежит на Oy. Положительная ордината показывает, что точка находится выше начала координат.

Ответ: A — II четверть, B — IV четверть, C — ось Oy.

Построение точек

Построим M(−4; −2), N(3; 1), P(−1; 0), а затем соединим их. Чтобы не перепутать направления, для каждой точки действуем в одном порядке: сначала перемещаемся по Ox, потом по Oy. При соединении отрезками получившиеся вершины сохраняют исходные координаты.

1. Для M от O отложим 4 единицы влево, затем 2 вниз. Отметим место пересечения этих смещений.
2. Для N от O отложим 3 единицы вправо, затем 1 вверх. Получим точку в I четверти.
3. Для P отложим 1 единицу влево по Ox. Так как y = 0, дополнительного смещения по Oy нет: P лежит на Ox.
4. Соединим отмеченные точки отрезками, например M–N и N–P. При проверке прочитаем координаты в заданном порядке: сначала x, потом y.

Ответ: вершины имеют координаты M(−4; −2), N(3; 1), P(−1; 0); соединение точек не меняет их координаты.

Симметрия точек

Точка A имеет координаты (−2; 5). При отражении относительно Oy расстояние от точки до этой оси сохраняется, но сторона меняется, поэтому меняется знак x, а y остаётся прежним. При отражении относительно начала координат меняются направления по обеим осям.

1. Для точки D, симметричной A относительно Oy, оставим ординату 5 и заменим абсциссу −2 на 2.
2. Для точки E, симметричной A относительно O, изменим знаки обеих координат: −2 станет 2, а 5 станет −5.
3. Проверим результат: A и D находятся на одинаковом расстоянии от Oy по разные стороны; A и E — по разные стороны от O, на одной прямой через начало.

Ответ: D(2; 5), E(2; −5).

Типичные ошибки

Координаты иногда записывают в обратном порядке, путая абсциссу и ординату. Это происходит, если не связывать первое число с Ox, а второе с Oy. Проверка простая: прочитайте пару как «сначала по горизонтали, затем по вертикали» и сопоставьте её с обозначением (x; y).

Отрицательные деления могут ошибочно отсчитывать от положительного конца оси. Причина — привычка двигаться в одном направлении или невнимание к знаку. Начинайте отсчёт от O: отрицательные значения откладываются против положительного направления, а не от произвольной отметки.

Для определения четверти иногда учитывают только одну координату. Но точки с одинаковым знаком x могут лежать в разных четвертях, если знаки y различаются. Проверьте оба знака и сравните их с четырьмя сочетаниями: (+; +), (−; +), (−; −), (+; −).

Точку с нулевой координатой могут поместить внутрь четверти, потому что рассматривают её вторую координату. Ноль означает отсутствие смещения вдоль одной оси, поэтому точка находится на другой оси. Проверьте запись: при x = 0 это Oy, при y = 0 — Ox, при обеих нулевых координатах — начало O.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны знания о числовой прямой, положительных и отрицательных числах, масштабе и перпендикулярных прямых. Числовая прямая помогает отсчитывать значения, а масштаб задаёт расстояние между делениями. Позже координатный метод применяют при изучении координат векторов, уравнений прямых и окружностей. Он также помогает решать геометрические задачи вычислениями и строить графики зависимостей.

Что запомнить

• Декартова система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей.
• Общее начало осей называют началом координат и обозначают O.
• Горизонтальная ось — ось абсцисс Ox, вертикальная — ось ординат Oy.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y): сначала абсцисса, затем ордината.
• Знаки координат определяют координатную четверть точки.
• Точка с одной нулевой координатой лежит на координатной оси, а начало координат имеет координаты (0; 0).