"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Окружность задаётся условием: расстояние от каждой её точки до центра одно и то же. Это геометрическое свойство можно записать уравнением, которое помогает находить координаты центра и радиус, строить окружность и проверять, принадлежит ли ей заданная точка. Главная формула — (x − a)² + (y − b)² = R²: в ней a и b задают центр, а R — радиус.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром, а одинаковое расстояние до неё задаёт размер окружности. Такое определение позволяет описывать окружность не только рисунком, но и точным условием для координат её точек.
Центр окружности — фиксированная точка, от которой отсчитывается расстояние до любой точки окружности. Его положение определяет, где окружность находится на плоскости. Обычно центр обозначают буквой O, а его координаты записывают в виде (a; b).
Радиус окружности — расстояние от её центра до любой точки окружности; радиус обозначают R. Он показывает размер окружности: чем больше R, тем дальше её точки могут находиться от центра. Радиус — положительное число, измеряемое в тех же единицах, что и расстояния на координатной плоскости.
Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек окружности и только они. Это значит, что подстановка координат точки окружности превращает равенство в верное, а координаты точки вне окружности условию не удовлетворяют. Уравнение помогает решать геометрические задачи вычислениями.
Пусть центр окружности имеет координаты O(a; b), а M(x; y) — произвольная точка на окружности. По определению окружности расстояние OM должно равняться радиусу R. Формула расстояния между двумя точками даёт OM = √((x − a)² + (y − b)²). Поэтому условие для любой точки окружности записывается как √((x − a)² + (y − b)²) = R.
Чтобы убрать корень, возведём обе части равенства в квадрат: (x − a)² + (y − b)² = R². Полученное равенство и есть уравнение окружности, потому что оно точно выражает условие OM = R. Числа a и b — координаты центра, а R — радиус; справа стоит квадрат радиуса, поскольку в формуле расстояния складываются квадраты разностей координат. Равенству удовлетворяют точки на окружности, а не точки внутри или снаружи неё.
Если центр находится в начале координат, то a = 0 и b = 0. Подстановка этих значений превращает уравнение в (x − 0)² + (y − 0)² = R², то есть x² + y² = R². Упрощение связано с тем, что расстояние до начала координат зависит только от координат самой точки. Например, при R = 5 уравнение такой окружности имеет вид x² + y² = 25.
Чтобы найти центр и радиус по уравнению, удобно сначала привести его к каноническому виду: (x − a)² + (y − b)² = R². Затем координаты центра считывают из выражений в скобках, внимательно учитывая знаки, а радиус находят извлечением корня из правой части. Для построения отмечают центр на координатной плоскости и находят несколько точек на расстоянии R от него: например, откладывают радиус вправо, влево, вверх и вниз. Через эти точки проводят окружность.
Общее уравнение x² + y² + Ax + By + C = 0 преобразуют, группируя слагаемые с одинаковыми переменными: (x² + Ax) + (y² + By) = −C. Чтобы выделить полный квадрат, к выражениям в скобках добавляют квадраты половин коэффициентов: (A/2)² и (B/2)². Их нужно добавить к обеим частям равенства, поэтому получаем (x + A/2)² + (y + B/2)² = (A² + B²)/4 − C. Отсюда центр равен (−A/2; −B/2), а правая часть — квадрат радиуса. Окружность с положительным радиусом существует, только если (A² + B²)/4 − C > 0; при нуле остаётся одна точка, при отрицательном значении действительных точек нет.
| Вид уравнения | Координаты центра | Радиус | Комментарий |
|---|---|---|---|
| (x − a)² + (y − b)² = R² | (a; b) | R | Канонический вид |
| x² + y² = R² | (0; 0) | R | Частный случай: центр в начале координат |
| x² + y² + Ax + By + C = 0 | (−A/2; −B/2) | √((A² + B²)/4 − C) | Окружность существует, если выражение под корнем положительно |
Сначала сравните данную запись с подходящей строкой таблицы: канонический вид позволяет прочитать центр и радиус сразу, а для общего вида нужно выполнить преобразование. В последнем случае обязательно проверьте знак выражения под корнем. Если оно положительное, извлеките корень, чтобы получить радиус, а не его квадрат.
Используем каноническую формулу: координата x вычитается из переменной x, а координата y — из переменной y. Важно подставлять координаты центра целиком, вместе со знаками. Справа указываем квадрат радиуса, а не сам радиус.
Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² = 9. Плюс во второй скобке появился потому, что вычитание отрицательной координаты превращается в сложение. Проверить запись можно подстановкой координат центра: при x = 2 и y = −1 левая часть равна нулю, как и ожидалось для центра, хотя сам центр не лежит на окружности.
Чтобы прочитать центр и радиус, сгруппируем выражения с x и y и превратим каждую группу в квадрат двучлена. При выделении полного квадрата нужно добавить одинаковые числа к обеим частям равенства. Так уравнение сохранит равносильность, а слева появится канонический вид.
Ответ: центр (3; −2), радиус 5. Знак перед координатой центра проверяем по скобкам: x − 3 соответствует абсциссе 3, а y + 2 — ординате −2. Правая часть положительна, значит окружность существует.
Сначала найдём радиус: точка A лежит на окружности, поэтому расстояние от неё до центра и есть радиус. После этого подставим координаты центра и найденный радиус в каноническую формулу. В конце проверим результат исходной точкой, чтобы убедиться, что она действительно удовлетворяет уравнению.
Ответ: (x − 1)² + (y + 3)² = 25. Проверка дала верное равенство, значит заданная точка лежит на полученной окружности. Радиус получился положительным и равен расстоянию между центром и точкой.
Можно поменять знаки координат центра, прочитав их прямо из скобок. Но в записи (x − a)² + (y − b)² центр — (a; b): знак в скобке относится к операции вычитания. Проверяйте себя сравнением с координатами центра и подстановкой: при x = a, y = b оба квадрата обращаются в ноль.
Иногда правую часть принимают за радиус, хотя в уравнении стоит R². Ошибка возникает из-за того, что в формуле расстояния сначала возводят разности координат в квадрат. Если правая часть равна 25, радиус равен √25 = 5, а не 25; для проверки возведите найденный радиус в квадрат.
Не всякое уравнение с x² и y² задаёт окружность с ненулевым радиусом. После выделения квадратов подкоренное выражение может оказаться нулевым или отрицательным. Найдите его до извлечения корня: для окружности с положительным радиусом оно должно быть больше нуля.
При выделении полного квадрата иногда добавляют нужное число только слева. Тогда меняется равенство, и полученное уравнение уже не равносильно исходному. Добавляйте одинаковые числа к обеим частям и проверьте преобразование раскрытием скобок.
Для вывода уравнения нужны координаты точек на плоскости и формула расстояния между двумя точками: она связывает геометрическое условие с вычислениями. При преобразовании общего уравнения пригодятся раскрытие скобок, квадрат двучлена и выделение полного квадрата. Эти же алгебраические навыки помогают находить центр и радиус, даже если уравнение сразу не записано в удобном виде. Уравнение окружности используют в задачах о пересечении окружностей и прямых, а позднее — в аналитической геометрии, где свойства фигур изучают с помощью координат и формул.
Почему в уравнении окружности координаты центра стоят со знаком минус в скобках?
В формуле расстояния между точками вычитают координаты: для точки (x; y) и центра (a; b) разности равны x − a и y − b. Поэтому координаты центра записаны как вычитаемые числа. Если координата центра отрицательная, например b = −1, в скобке получится y − (−1) = y + 1.
Как по уравнению понять, где находится центр окружности?
Приведите уравнение к виду (x − a)² + (y − b)² = R². Тогда центр имеет координаты (a; b), а радиус равен квадратному корню из правой части. Например, в уравнении (x + 3)² + (y − 2)² = 16 центр — (−3; 2), радиус — 4.
Почему в правой части уравнения стоит квадрат радиуса?
По теореме Пифагора квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов разностей их координат. Расстояние от точки окружности до центра равно R, поэтому его квадрат равен R². В уравнении записывается именно квадрат расстояния, а не само расстояние.
Как проверить, лежит ли заданная точка на окружности?
Подставьте координаты точки вместо x и y в уравнение окружности. Если после вычислений получается верное равенство, точка лежит на окружности. Если левая и правая части не равны, точка окружности не принадлежит.
Всегда ли уравнение второго порядка с x² и y² задаёт окружность?
Нет. Для окружности коэффициенты при x² и y² должны быть одинаковыми, а слагаемого xy быть не должно. Кроме того, после выделения полных квадратов квадрат радиуса должен оказаться положительным: при нулевом значении получается одна точка, а при отрицательном действительных точек нет.
§ 5. Уравнение окружности
