§ 4. Расстояние между двумя точками, заданными своими координатами

Определения и обозначения

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают AB. Если поменять точки местами, длина отрезка не изменится: AB = BA. Это позволяет выбирать порядок точек в вычислениях так, как удобнее.

Координаты точки на координатной плоскости — числа, задающие её положение по горизонтали и вертикали. Точку записывают, например, так: A(x₁; y₁), где x₁ — абсцисса, а y₁ — ордината. Координаты помогают описать положение точки числами, не измеряя его линейкой на чертеже.

Формула расстояния между двумя точками — правило, которое позволяет вычислить длину отрезка по координатам его концов. Для этого сравнивают соответствующие координаты точек и используют их разности. Такая формула особенно полезна, когда отрезок наклонён к координатным осям или точного чертежа нет.

Как это устроено

Если у двух точек одинаковая координата y, они находятся на одной горизонтальной прямой. Тогда соединяющий их отрезок параллелен оси x, а его длина определяется только тем, насколько отличаются координаты x. Поэтому расстояние равно |x₂ − x₁|: модуль нужен, чтобы результат не зависел от того, какая точка записана первой.

Если совпадают координаты x, точки лежат на одной вертикальной прямой, параллельной оси y. Их положение по горизонтали одинаково, поэтому длина отрезка зависит только от изменения координаты y. Расстояние равно |y₂ − y₁|, то есть модулю разности ординат.

Когда обе координаты различаются, можно мысленно достроить прямоугольный треугольник, проведя через одну точку горизонтальный, а через другую вертикальный отрезок. Получившийся прямой угол означает, что катеты перпендикулярны. Их длины равны модулям разностей абсцисс и ординат: |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|.

Соединяющий точки отрезок становится гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Модули в записи катетов можно не указывать: при возведении разности в квадрат её знак исчезает.

Из равенства для квадрата длины извлекаем квадратный корень и получаем общую формулу: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). При перестановке точек каждая разность меняет знак, но квадрат каждой разности сохраняется, поэтому расстояние остаётся тем же. Если совпадают ординаты, второй квадрат равен нулю; если совпадают абсциссы, нулю равен первый. В обоих случаях корень из квадрата разности превращается в её модуль.

Расстояние между точками в разных случаях

Сначала проверьте, совпадает ли у точек одна из координат: тогда можно сразу применить короткую формулу. Если совпадений нет, используйте общую формулу. В ней важно подставлять координаты одного и того же порядка: x₁ и y₁ относятся к одной точке, x₂ и y₂ — к другой.

Разбор задач

Задача 1. Найдите расстояние между точками A(−2; 3) и B(4; 3). Ординаты обеих точек равны, значит, отрезок горизонтальный. Поэтому достаточно найти разность абсцисс и взять её модуль.

1. Записываем равные ординаты: 3 = 3. Это подтверждает, что можно использовать формулу для горизонтального отрезка.
2. Вычисляем расстояние: AB = |4 − (−2)| = |6| = 6. Модуль показывает длину, а не направление перемещения по оси.

Ответ: 6.

Задача 2. Найдите расстояние между точками C(−1; 2) и D(3; −1). Здесь различаются и абсциссы, и ординаты, поэтому используем общую формулу. Сначала находим обе разности, затем возводим каждую в квадрат.

1. Подставляем координаты: CD = √((3 − (−1))² + (−1 − 2)²). В каждой скобке сравниваем координаты одного вида.
2. Вычисляем разности: CD = √(4² + (−3)²) = √(16 + 9). Отрицательный знак второй разности не меняет её квадрат.
3. Складываем квадраты и извлекаем корень: CD = √25 = 5. Полученное число неотрицательно, как и любое расстояние.

Ответ: 5.

Задача 3. Точки A(2; −1) и B(x; 3) находятся на расстоянии 5. Нужно найти неизвестную абсциссу x. После подстановки в формулу получим уравнение, в котором неизвестное входит в квадрат разности.

1. Записываем формулу: 5 = √((x − 2)² + (3 − (−1))²). Разность ординат равна 4.
2. Возводим обе части в квадрат: 25 = (x − 2)² + 16, откуда (x − 2)² = 9. Значит, x − 2 = 3 или x − 2 = −3.
3. Решаем оба уравнения: x = 5 или x = −1. Проверка показывает, что в обоих случаях горизонтальное смещение вместе с вертикальным смещением 4 даёт расстояние 5.

Ответ: x = 5 или x = −1.

Типичные ошибки

Иногда вычитают координаты только в одном порядке и считают полученное отрицательное число расстоянием. Так путают длину отрезка с направлением перемещения по оси. Проверка: примените модуль в частном случае или убедитесь, что итоговое расстояние не меньше нуля.

Другая ошибка — забыть квадрат разности или возвести в квадрат только один катет. Она возникает, когда формулу вспоминают не целиком. Сверьте запись с теоремой Пифагора: квадрату расстояния должны соответствовать квадраты обеих разностей координат.

Нельзя складывать координаты точек вместо того, чтобы находить их разности. Координаты показывают положения точек, а длины катетов определяются изменением положения от одной точки к другой. Для самопроверки отдельно вычислите x₂ − x₁ и y₂ − y₁.

Сумма квадратов разностей — ещё не расстояние, а его квадрат. Ошибку допускают, если останавливаются после применения теоремы Пифагора. В конце общей формулы обязательно извлеките квадратный корень, а затем проверьте, что результат неотрицателен.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны координаты точек на плоскости, модуль числа и теорема Пифагора. Координаты помогают определить перемещения по горизонтали и вертикали, модуль превращает разность в длину, а теорема связывает длины катетов с гипотенузой. Поэтому формула расстояния объединяет алгебраические вычисления и геометрические свойства прямоугольного треугольника.

Формула пригодится при изучении уравнения окружности: точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Она также используется в координатном методе решения геометрических задач и при нахождении длины отрезка по координатам его концов. В этих случаях геометрические условия можно перевести в вычисления с числами.

Что запомнить

• Расстояние между точками не зависит от порядка их записи.
• Разности координат задают катеты прямоугольного треугольника.
• Квадрат расстояния равен сумме квадратов разностей соответствующих координат.
• AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Если одна координата у точек совпадает, расстояние равно модулю разности других координат.
• Расстояние всегда неотрицательно.