"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, если известны две другие, а обратная теорема позволяет проверить, прямоугольный ли треугольник заданных размеров. Главное — сначала определить, какая сторона лежит напротив прямого угла, и только затем подставлять длины в формулу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Такой угол называют прямым. Это условие отличает прямоугольный треугольник от остальных и позволяет применять к его сторонам теорему Пифагора.
Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Обычно их обозначают буквами a и b. Чтобы использовать формулу, нужно не перепутать их со стороной, лежащей напротив прямого угла.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла. Она является самой длинной стороной и часто обозначается буквой c. По её положению можно сразу понять, какую длину подставлять в формулу вместо c.
Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты обозначены a и b, а гипотенуза — c, то запись имеет вид c² = a² + b². Она связывает все три стороны и помогает найти неизвестную длину.
Буквы в записи теоремы соответствуют ролям сторон: c — гипотенуза, a и b — катеты. Поэтому запись c² = a² + b² не зависит от того, как нарисован треугольник, но зависит от правильного обозначения его сторон. Если принять за c катет, равенство в общем случае перестанет работать.
Соотношение можно увидеть через площади квадратов, построенных на сторонах треугольника. Площадь квадрата со стороной a равна a², а со сторонами b и c — соответственно b² и c². Доказательство состоит в том, чтобы показать: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах; отсюда получается c² = a² + b². Это равенство относится к площадям, а не к простому сложению длин сторон.
Если неизвестна гипотенуза, формула уже сообщает её квадрат: c² = a² + b². Чтобы получить длину c, складывают квадраты катетов и извлекают квадратный корень: c = √(a² + b²). Корень нужен потому, что исходное равенство содержит квадрат искомой длины.
Если неизвестен катет, например a, его квадрат нужно выразить из исходной формулы: a² = c² − b². Здесь квадраты вычитают, потому что a² — только часть суммы, равной c². Затем извлекают корень: a = √(c² − b²); под корнем должна получиться неотрицательная величина.
Обратная теорема позволяет установить вид треугольника по длинам его сторон. Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Для проверки сначала выбирают самую длинную сторону, а затем сравнивают её квадрат с суммой квадратов оставшихся сторон. Такой способ применяют и в геометрических задачах, когда нужно обосновать наличие прямого угла.
В таблице собраны типичные исходные данные и подходящие действия. Сначала реши, известны ли две стороны прямоугольного треугольника или требуется проверить все три стороны. Запись помогает выбрать сложение или вычитание квадратов и не перепутать гипотенузу.
| Что известно | Что можно найти или доказать | Запись |
|---|---|---|
| Известны катеты a и b | Найти гипотенузу c | c = √(a² + b²) |
| Известны гипотенуза c и катет a | Найти второй катет b | b = √(c² − a²) |
| Известны три стороны треугольника | Проверить, прямоугольный ли треугольник | Для наибольшей стороны c: c² = a² + b² |
| Как определить, какая сторона является гипотенузой | Найти сторону напротив прямого угла | Гипотенуза — сторона напротив угла 90°; она самая длинная |
В каждой задаче сначала определим, какой вид треугольника рассматриваем и какая сторона неизвестна. Затем выберем нужную форму теоремы и выполним вычисления. Длину стороны укажем в тех же единицах, что и остальные длины.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.
Ответ: 10 см.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет.
Ответ: 12 см.
Задача 3. Стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см. Определите, является ли он прямоугольным.
Ответ: треугольник прямоугольный.
Возводят в квадрат не те стороны, принимая за гипотенузу произвольно выбранную сторону. Так происходит, если ориентироваться на положение стороны на чертеже, а не на прямой угол. Проверь себя: гипотенуза должна лежать напротив угла 90° и быть самой длинной.
При поиске катета складывают квадраты сторон. Часто это происходит из-за того, что запоминают только одну запись теоремы и не выражают из неё неизвестную величину. Подставь данные в c² = a² + b²: квадрат катета получается вычитанием из c² квадрата другого катета.
Теорему применяют к любому треугольнику, хотя она верна только для прямоугольного. Ошибка возникает, если подставлять длины, не проверив наличие прямого угла. Убедись, что угол 90° известен или прямоугольность доказана обратной теоремой.
В обратной теореме сравнивают сумму квадратов с квадратом случайно выбранной стороны. Причина — забывают, что в роли гипотенузы может выступать только наибольшая сторона. Перед проверкой упорядочь длины и сравни квадрат наибольшей с суммой квадратов двух меньших.
Для работы с теоремой нужны знания о прямоугольном треугольнике и его сторонах, а также умение возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Эти действия позволяют перейти от равенства квадратов к длине стороны. Ошибка в обозначении гипотенузы меняет смысл вычислений.
Теорему используют, когда требуется найти расстояние или диагональ: например, прямоугольник можно разделить диагональю на прямоугольные треугольники. Позже соотношение Пифагора встретится в тригонометрии прямоугольного треугольника и в координатном методе. Во всех случаях оно помогает связать длины перпендикулярных направлений с расстоянием между их концами.
Как понять, какая сторона в треугольнике является гипотенузой?
Гипотенуза лежит напротив прямого угла, то есть напротив угла 90°. В прямоугольном треугольнике это также самая длинная сторона.
Почему в теореме Пифагора складывают именно квадраты сторон?
Теорема связывает площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Площадь квадрата со стороной c равна c², поэтому получается равенство c² = a² + b².
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Возведи в квадрат гипотенузу и известный катет, затем вычти квадрат катета из квадрата гипотенузы. Из полученной разности извлеки квадратный корень: a = √(c² − b²).
Можно ли применить теорему Пифагора к треугольнику, который не является прямоугольным?
Нет, теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника. Для треугольника без прямого угла это соотношение обычно не выполняется.
Как проверить по длинам сторон, что треугольник прямоугольный?
Найди наибольшую сторону и возведи её в квадрат. Если этот квадрат равен сумме квадратов двух остальных сторон, треугольник прямоугольный.
§ 3. Теорема Пифагора
