"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. По двум известным сторонам с её помощью находят третью, а обратное утверждение позволяет проверить по трём длинам, прямоугольный ли треугольник. Для применения теоремы нужно определить, где расположен прямой угол, и не перепутать гипотенузу с катетами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, которая прилегает к прямому углу. Катетов два, поэтому их обычно обозначают буквами a и b. Эти стороны образуют прямой угол и служат исходными данными, если требуется найти третью сторону треугольника.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Обозначим её буквой c. По расположению относительно угла её легко отличить от катетов, а в вычислениях это помогает не перепутать стороны в формуле.
Теорема Пифагора утверждает: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c² = a² + b². Квадрат числа — это произведение числа на само себя. Теорема нужна, чтобы найти неизвестную сторону, когда известны две другие.
Обратная теорема Пифагора говорит: если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Она позволяет установить вид треугольника, даже если его углы неизвестны. Для проверки важно сначала определить наибольшую сторону.
Представь квадрат, построенный на каждой стороне прямоугольного треугольника. Площадь квадрата со стороной a равна a², а со стороной b — b²; площадь квадрата со стороной c равна c². Поэтому теорему можно представить как равенство площадей: квадрат на гипотенузе по площади равен двум квадратам на катетах вместе. Именно эту связь сторон с площадями выражает запись c² = a² + b².
Прямой угол здесь необходим, потому что именно для прямоугольного треугольника площади трёх построенных квадратов связаны таким равенством. Гипотенуза лежит напротив наибольшего угла — прямого, поэтому она длиннее катетов. Если бы она была короче одного из катетов, равенство c² = a² + b² стало бы невозможным: квадрат гипотенузы оказался бы меньше квадрата одного катета, хотя должен равняться сумме двух квадратов.
Доказательство можно увидеть, сравнив площади двух квадратов со стороной a + b. В первом квадрате разместим четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы внутри остался квадрат со стороной c. Площадь всей фигуры равна (a + b)², а также равна сумме площадей четырёх треугольников и квадрата: 4 · ab/2 + c². Во втором квадрате те же четыре треугольника расположим так, чтобы оставшиеся части были квадратами со сторонами a и b; их общая площадь равна 4 · ab/2 + a² + b². Оба больших квадрата имеют одинаковую площадь, значит, c² = a² + b².
Если неизвестна гипотенуза, из равенства c² = a² + b² получаем c = √(a² + b²). Если неизвестен катет a, переносим b² в другую часть равенства: a² = c² − b², поэтому a = √(c² − b²). Аналогично, для второго катета b = √(c² − a²). Корень берут положительный, потому что длина стороны не может быть отрицательной.
Обратная теорема решает другую задачу: не вычисляет сторону, а помогает узнать, есть ли в треугольнике прямой угол. Сначала среди трёх сторон выбирают самую длинную и называют её c, поскольку гипотенуза должна быть наибольшей стороной. Затем проверяют, выполняется ли c² = a² + b². Если равенство верно, треугольник прямоугольный; если нет, по этой теореме признать его прямоугольным нельзя.
| Что известно | Вывод | Условие применения |
|---|---|---|
| Прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c | c² = a² + b² | Треугольник уже известен как прямоугольный |
| Известны катеты a и b | c = √(a² + b²) | Нужно найти гипотенузу |
| Известны гипотенуза c и катет b | a = √(c² − b²) | Нужно найти катет; аналогично b = √(c² − a²) |
| Известны стороны треугольника a, b, c, где c — наибольшая | Если c² = a² + b², треугольник прямоугольный | Проверяется обратная теорема |
Сначала выясни, что известно и какая сторона требуется: это подскажет нужную формулу. Для прямоугольного треугольника используй теорему, а для проверки треугольника по трём сторонам — обратную теорему. В последнем случае обязательно сравни квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух остальных.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу. Прямой угол образован катетами, а сторона напротив него — искомая гипотенуза. Поэтому применяем теорему Пифагора и извлекаем корень из суммы квадратов катетов.
Ответ: 10 см. Проверка показывает, что гипотенуза длиннее обоих катетов, как и должно быть в прямоугольном треугольнике. При вычислении мы нашли сначала квадрат длины, а затем саму длину.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Неизвестный катет вместе с известным образует прямой угол, а напротив него расположена гипотенуза. Поэтому квадрат неизвестного катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета.
Ответ: 12 см. Полученное значение меньше гипотенузы, что соответствует свойству сторон прямоугольного треугольника. Если бы при вычитании получилось отрицательное число, данные задачи не могли бы задавать такой треугольник.
Задача 3. Стороны треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Определите, является ли он прямоугольным. Нельзя заранее считать любую из сторон гипотенузой: сначала выберем наибольшую сторону. Затем проверим условие обратной теоремы Пифагора.
Ответ: треугольник прямоугольный. Равенство проверено именно для наибольшей стороны, как требует обратная теорема. Если бы оно не выполнялось, такой вывод сделать было бы нельзя.
Иногда в формуле возводят в квадрат неверно выбранную сторону и ставят слева катет. Так происходит, когда стороны обозначают только по длине и не смотрят, где расположен прямой угол. Проверь: напротив прямого угла должна быть гипотенуза, а её квадрат стоит слева в записи c² = a² + b².
При нахождении катета некоторые складывают квадраты, как при поиске гипотенузы. Причина — запомнили основную формулу, но не выразили из неё нужную сторону. Для проверки подставь результат в исходное равенство: квадрат гипотенузы должен быть равен квадрату найденного катета плюс квадрат другого катета.
В обратной теореме бывает, что равенство проверяют для произвольно выбранной стороны. Такой выбор неверен, потому что гипотенуза — самая длинная сторона, а обратная теорема требует сравнивать именно её квадрат с суммой двух остальных. Перед вычислениями расположи стороны по длине и возьми наибольшую.
Ещё одна ошибка — остановиться на равенстве квадратов или получить отрицательное значение стороны. Если найдено, например, a² = 144, длина равна √144 = 12, а не 144. Отрицательный корень не подходит, поскольку длина положительна; проверка исходной формулой помогает заметить ошибку.
Для работы с теоремой нужны знания о прямоугольном треугольнике, катетах и гипотенузе. Также нужно уметь возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень, иначе нельзя перейти от равенства квадратов к длинам сторон. Эти действия знакомы по арифметике и используются в вычислениях по формуле.
Теорема помогает находить расстояния и диагонали, когда их можно представить как стороны прямоугольного треугольника. Она встречается в задачах на площадь и позднее пригодится при изучении координатного метода. В таких задачах сначала выделяют прямоугольный треугольник, а затем определяют, какие его стороны известны.
Как определить, какая сторона прямоугольного треугольника является гипотенузой?
Гипотенуза лежит напротив прямого угла, то есть не образует его. В прямоугольном треугольнике она также является самой длинной стороной.
Почему в теореме Пифагора складывают именно квадраты катетов?
Теорема сравнивает площади квадратов, построенных на сторонах треугольника. Площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах, поэтому складываются именно их квадраты.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Из квадрата гипотенузы вычти квадрат известного катета. Затем извлеки квадратный корень: например, a = √(c² − b²).
Как проверить по трём сторонам, является ли треугольник прямоугольным?
Сначала найди наибольшую сторону и обозначь её c. Если c² равно сумме квадратов двух других сторон, треугольник прямоугольный.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорему Пифагора применяют только к прямоугольному треугольнику. Для другого треугольника нельзя использовать формулу c² = a² + b² без дополнительного обоснования.
§ 3. Теорема Пифагора
