70. Теорема Пифагора

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один угол которого равен 90°. Его стороны удобно различать по отношению к этому углу: две стороны образуют его, а третья лежит напротив. Это определение сразу показывает, к каким треугольникам применима теорема Пифагора.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Обозначим их a и b. Они нужны в формуле теоремы: именно квадраты катетов складывают, чтобы получить квадрат гипотенузы.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; обозначим её c. Такое положение отличает её от катетов, поэтому не нужно определять её только по длине. В теореме гипотенуза играет особую роль: её квадрат равен сумме квадратов двух других сторон.

Теорема Пифагора — утверждение о связи квадратов катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то c² = a² + b². Эта связь позволяет вычислить сторону, когда известны две остальные.

Как это устроено

Представь прямоугольный треугольник: катеты a и b встречаются в вершине прямого угла, а сторона c расположена напротив этой вершины. Такое расположение важно, потому что оно определяет, какие стороны участвуют в теореме и какую из них считают гипотенузой. Если перепутать стороны, формула даст неверный результат.

Теорема Пифагора записывается так: c² = a² + b². Иными словами, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Например, длины 3, 4 и 5 подходят этому равенству: 5² = 3² + 4². Формула связывает именно квадраты длин, а не сами длины.

Равенство можно представить через площади квадратов, построенных на сторонах треугольника. Площадь квадрата со стороной c равна c², а площади квадратов со сторонами a и b равны a² и b². Поэтому теорема говорит: площадь большого квадрата на гипотенузе равна сумме площадей двух квадратов на катетах. Такое толкование помогает понять смысл равенства, а не только запомнить его.

Один из способов доказательства начинается с высоты, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе. Она делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному. Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны; из этих пропорций получают равенства, связывающие квадраты сторон. После преобразования выходит c² = a² + b².

Если известны катеты, подставь их в формулу и извлеки квадратный корень: c = √(a² + b²). Чтобы найти катет, перенеси квадрат другого катета вычитанием: например, b² = c² − a², поэтому b = √(c² − a²). Корень нужен, потому что после вычислений сначала получается квадрат длины, а не сама длина.

Стороны прямоугольного треугольника и теорема Пифагора

Сначала по таблице определи, какая сторона неизвестна, а затем выбери подходящую строку с формулой. Проверь, что c обозначает гипотенузу, а не один из катетов. После вычислений подставь длины в исходное равенство для проверки.

Разбор задач

Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. Неизвестна сторона напротив прямого угла, поэтому применяем формулу для гипотенузы, а не для катета.

1. Обозначим катеты: a = 3 см, b = 4 см.
2. Подставим значения в теорему: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
3. Извлечём корень: c = √25 = 5 см. Длина положительна, поэтому берём положительный корень.

Ответ: 5 см. Проверка: гипотенуза 5 см длиннее обоих катетов, а 5² = 3² + 4².

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Неизвестен катет, значит, его квадрат равен квадрату гипотенузы минус квадрат известного катета.

1. Обозначим гипотенузу c = 13 см, известный катет a = 5 см, неизвестный — b.
2. Запишем равенство для b: b² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Извлечём корень: b = √144 = 12 см. Значение подходит: оно меньше гипотенузы.

Ответ: 12 см. Подстановка подтверждает результат: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13².

Задача 3. Прямоугольная площадка имеет размеры 9 м и 12 м. Найдите длину диагонали. Диагональ делит площадку на два прямоугольных треугольника: стороны площадки являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

1. Обозначим катеты a = 9 м и b = 12 м, диагональ — c.
2. Применим теорему: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
3. Найдём длину диагонали: c = √225 = 15 м.

Ответ: 15 м. Проверка показывает, что диагональ длиннее каждой стороны площадки, как и должно быть у гипотенузы.

Типичные ошибки

Иногда гипотенузой называют любую самую длинную сторону треугольника. Так ошибаются, потому что запоминают, что гипотенуза длиннее катетов, но забывают её определяющий признак: она лежит напротив прямого угла. Сначала найди угол 90° и посмотри на противоположную сторону; затем проверь, что она длиннее катетов.

Запись c = a² + b² неверна: она приравнивает длину гипотенузы сумме квадратов длин. Ошибка возникает, когда в формуле забывают возвести в квадрат саму гипотенузу. Сверяй запись с теоремой: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c² = a² + b².

При поиске катета иногда складывают квадраты сторон, хотя сумма квадратов катетов уже даёт квадрат гипотенузы. Нужно выразить неизвестный катет из равенства: из c² вычесть квадрат известного катета. Проверь вычисление обратной подстановкой: квадраты двух катетов должны в сумме дать квадрат гипотенузы.

Даже получив верное значение квадрата стороны, можно забыть извлечь корень: например, b² = 144 ещё не означает, что b = 144. Длина здесь равна 12, потому что 12² = 144. После нахождения стороны проверь корень и запиши единицы длины, например сантиметры, а не квадратные сантиметры.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны навыки, изученные раньше: распознавать прямоугольный треугольник, отличать катеты от гипотенузы, возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Без этого легко выбрать не ту формулу или получить неверную длину. Теорема, в свою очередь, помогает находить расстояния и диагонали, решать задачи на площади и применяется при изучении координатного метода. В координатных задачах расстояние между точками можно связать с катетами прямоугольного треугольника.

Что запомнить

• Теорема Пифагора применяется к прямоугольному треугольнику.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².
• Гипотенуза длиннее каждого из катетов.
• Чтобы найти гипотенузу, сложи квадраты катетов и извлеки корень.
• Чтобы найти катет, вычти квадрат другого катета из квадрата гипотенузы и извлеки корень.