71. Золотое сечение

Определения и обозначения

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении — такое деление точкой на большую и меньшую части, при котором весь отрезок относится к большей части так же, как большая часть к меньшей. Например, если целое обозначить a, большую часть — x, а меньшую — a − x, условие записывается как a/x = x/(a − x). Эта запись позволяет перейти от словесного описания к вычислениям.

Золотое сечение — деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Его части не равны: одна длиннее другой, но их длины связаны указанной пропорцией. По ней можно определить положение точки деления или вычислить части, если известна длина всего отрезка.

Золотое число обозначают греческой буквой φ (фи): φ = (1 + √5) / 2. Оно выражает отношение всего отрезка к большей части при золотом сечении. Это число нужно, чтобы кратко записывать постоянное отношение и применять его в расчётах.

Золотой прямоугольник — прямоугольник, у которого отношение большей стороны к меньшей равно золотому числу. Поэтому, зная одну сторону, можно найти другую по пропорции. Такое определение помогает проверить, насколько данный прямоугольник соответствует золотому отношению.

Как это устроено

Пусть длина всего отрезка равна a, большая часть — x, а меньшая — a − x. При золотом сечении целое относится к большей части так же, как большая часть к меньшей, поэтому записываем a/x = x/(a − x). Обозначения здесь выбраны не случайно: x — именно большая часть, значит, она положительна и меньше a. Если назвать x меньшую часть, выражение a − x уже не обозначало бы меньшую часть.

Чтобы найти отношение, обозначим t = a/x. Тогда x = a/t, а из пропорции следует t = x/(a − x). Подставим x = a/t: t = (a/t)/(a − a/t) = 1/(t − 1), откуда t² − t − 1 = 0. Уравнение возникает из условия равенства двух отношений; корни равны (1 + √5)/2 и (1 − √5)/2. Отрицательный корень не подходит, поскольку t — отношение положительных длин, причём целое длиннее своей части.

Значит, t = φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618. Отношение целого к большей части равно φ, а по исходному условию отношение большей части к меньшей тоже равно φ. Это позволяет находить обе части разными способами: большую можно получить делением целой длины на φ, а меньшую — вычитанием большей из целой.

Для геометрического построения возьмите отрезок за сторону квадрата и отметьте середину одной из двух его сторон, перпендикулярных основанию. Соедините эту середину с противоположной вершиной квадрата: полученный прямоугольный треугольник имеет катеты a и a/2, поэтому его гипотенуза равна √(a² + (a/2)²) = a√5/2. Если продолжить основание квадрата и циркулем отложить от вершины длину этой гипотенузы, точка пересечения с основанием задаст золотое деление исходного отрезка. Построенная длина связана с √5, откуда и возникает выражение для φ.

У золотого прямоугольника, если большая сторона равна A, меньшая равна B, выполняется A/B = φ, поэтому B = A/φ. Если от такого прямоугольника отрезать квадрат со стороной B, оставшаяся фигура будет прямоугольником со сторонами B и A − B. Так как A/B = φ и φ − 1 = 1/φ, отношение сторон остатка снова равно φ. Это свойство объясняет, почему из золотого прямоугольника можно выделять квадрат, сохраняя золотое отношение в оставшейся части.

Основные соотношения золотого сечения

Сначала определите, какие длины обозначают a и x: это помогает не перепутать целый отрезок и его части. Затем выберите строку, которая соответствует задаче, и подставьте известные величины. При вычислениях с приближённым значением φ результат тоже будет приближённым.

Разбор задач

Задача 1. Отрезок длиной 10 см разделён в золотом сечении. Найдите приближённые длины большей и меньшей частей.

1. Обозначим длину отрезка через a = 10 см, а большую часть через x. По определению a/x = φ, значит, x = a/φ.
2. Подставим приближённое значение φ: x ≈ 10/1,618 ≈ 6,18 см. Меньшая часть равна 10 − 6,18 ≈ 3,82 см.
3. Проверим сумму частей: 6,18 + 3,82 = 10 см. Кроме того, большая часть действительно длиннее меньшей.

Ответ: большая часть примерно 6,18 см, меньшая — 3,82 см.

Задача 2. Постройте золотое сечение данного отрезка циркулем и линейкой.

1. Обозначим данный отрезок AB. Постройте на нём квадрат ABCD; его сторона равна длине исходного отрезка. Найдите середину M стороны AD.
2. Проведите отрезок MB. В прямоугольном треугольнике MAB катеты равны a и a/2, поэтому MB = √(a² + (a/2)²) = a√5/2.
3. Продолжите прямую AB за точку B и циркулем отложите на ней отрезок, равный MB. Обозначьте полученную точку E, так что BE = MB.
4. Тогда AE = a + a√5/2, а отношение AE к AB равно 1 + √5/2, то есть φ. Следовательно, AB делится точкой B в золотом отношении: весь отрезок AE относится к большей части AB так же, как AB к меньшей части BE.

Ответ: точка B делит построенный отрезок AE в золотом сечении; для исходного отрезка AB золотое деление получается переносом на него соответствующего положения точки.

Задача 3. Стороны прямоугольника равны 8 см и 13 см. Определите, насколько отношение его сторон близко к золотому, и найдите меньшую сторону золотого прямоугольника с большей стороной 13 см.

1. В данном прямоугольнике большая сторона 13 см, меньшая — 8 см. Найдём отношение: 13/8 = 1,625.
2. Сравним его с φ ≈ 1,618. Разность равна 1,625 − 1,618 = 0,007, поэтому отношение сторон близко к золотому, но не совпадает с ним точно.
3. Для точного золотого прямоугольника с большей стороной 13 см положим 13/B = φ. Тогда B = 13/φ ≈ 13/1,618 ≈ 8,03 см.
4. Полученная меньшая сторона немного больше 8 см. Значит, прямоугольник со сторонами 8 см и 13 см близок к золотому, а точное значение определяется отношением φ.

Ответ: отношение 13/8 = 1,625 отличается от φ примерно на 0,007; меньшая сторона точного золотого прямоугольника — около 8,03 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами отношения частей: записать, например, отношение меньшей части к большей вместо отношения целого к большей. Так происходит, когда формулу составляют, не сверяясь с определением. Проверьте запись словами: сначала должно быть «целое к большей части», затем «большая к меньшей».

Вторая ошибка — обозначить x меньшую часть, но при этом записать меньшую как a − x. Если x — меньшая часть, то a − x является большей, и обозначения противоречат смыслу. Перед составлением уравнения подпишите, что означает каждая буква, а затем убедитесь, что сумма двух частей равна a.

Третья ошибка — выбрать отрицательный корень квадратного уравнения или корень, не подходящий длинам. Его могут оставить только потому, что он получен при решении уравнения, но длина не бывает отрицательной, а отношение целого к части больше 1. Подставьте найденный корень в исходный смысл задачи: он должен быть положительным и больше единицы.

Четвёртая ошибка — считать число 1,618 точным значением золотого числа. Это лишь удобное округление: точная запись содержит √5, то есть φ = (1 + √5)/2. Если требуется точный ответ, оставляйте φ или выражение с корнем, а десятичное значение используйте для оценки и проверки.

Связь с другими темами

Для решения задач на золотое сечение нужно уметь составлять и решать пропорции, а также решать квадратные уравнения: именно уравнение даёт значение φ. Геометрическое построение опирается на свойства квадрата и прямоугольного треугольника, в частности на теорему Пифагора. Позже золотое сечение встречается в задачах на отношения отрезков и при изучении правильных многоугольников, где геометрические величины также связаны пропорциями.

Что запомнить

• При золотом сечении целый отрезок относится к большей части так же, как большая часть к меньшей.
• Если длины частей равны x и a − x, то a/x = x/(a − x).
• Золотое число φ = (1 + √5) / 2.
• Приближённо φ ≈ 1,618.
• Отношение большей части к меньшей тоже равно φ.
• У золотого прямоугольника отношение большей стороны к меньшей равно φ.