"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Теоремы синусов и косинусов позволяют находить стороны и углы любого треугольника, даже если он не прямоугольный. Теорема синусов связывает каждую сторону с синусом противолежащего угла и диаметром описанной окружности. Теорема косинусов помогает вычислить сторону по двум другим сторонам и углу между ними. Умение правильно сопоставлять стороны и углы подсказывает, какую формулу выбрать и как проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
В треугольнике вершины обычно обозначают A, B и C, а противолежащие им стороны — строчными буквами a, b и c. Значит, сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, а сторона c — напротив C. Это соответствие нужно сохранять при записи формул. Если перепутать сторону и угол, вычисления могут выглядеть верно, но дадут неправильный результат.
Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Это общее значение равно диаметру окружности, описанной около треугольника. Теорема помогает связать известную сторону с углом, который лежит напротив неё. По этой связи можно найти неизвестную сторону или угол.
Теорема косинусов говорит: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, c² = a² + b² − 2ab cos C. Здесь C — угол между сторонами a и b, а сторона c лежит напротив него. Формула позволяет находить сторону, если известны две другие стороны и угол между ними.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины треугольника, а её радиус обозначают R. В теореме синусов он связан со стороной и противолежащим углом равенством a/sin A = 2R. Поэтому общее значение отношений сторон и синусов — не просто число: оно равно диаметру этой окружности. Эта связь также позволяет найти радиус описанной окружности, когда известны сторона и угол напротив неё.
Чтобы понять теорему синусов, опустим из вершины C высоту h на сторону AB. В получившемся прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета h к гипотенузе AC, то есть sin A = h/b. Поэтому h = b sin A. Ту же высоту можно выразить через сторону BC и угол B: h = a sin B, ведь синус снова равен отношению высоты к гипотенузе. Приравнивая выражения, получаем b sin A = a sin B, а после деления — a/sin A = b/sin B.
Такое рассуждение связывает две стороны и их противолежащие углы, а аналогичный выбор высоты позволяет получить равенство с третьей стороной. Значит, все три отношения равны. Чтобы увидеть, почему это общее значение равно 2R, рассмотрим сторону a как хорду описанной окружности радиуса R. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 2A, поэтому длина хорды выражается как a = 2R sin A. Деление на sin A даёт a/sin A = 2R, и потому a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
Теорема косинусов становится понятнее через проекцию. Рассмотрим угол C между сторонами a и b, а сторону c, лежащую напротив него, получим как расстояние между концами этих сторон. Проекция стороны a на направление стороны b равна a cos C. Если угол острый, проекция направлена вдоль b, и при вычислении квадрата расстояния из квадрата b вычитается эта проекция; если угол тупой, cos C отрицателен, и вычитание отрицательного числа увеличивает результат. По теореме Пифагора для составляющих отрезка получаем c² = (b − a cos C)² + (a sin C)²; раскрытие скобок и равенство sin² C + cos² C = 1 дают c² = a² + b² − 2ab cos C. Так возникает множитель cos угла между сторонами.
Для любой стороны формулу составляют одинаково: искомая сторона стоит слева, а справа — квадраты двух остальных сторон и вычитаемое с косинусом угла между ними. Получаем a² = b² + c² − 2bc cos A, b² = a² + c² − 2ac cos B и c² = a² + b² − 2ab cos C. Если угол между известными сторонами прямой, его косинус равен нулю. Тогда соответствующая формула сокращается до теоремы Пифагора.
Выбор теоремы зависит от того, какие данные уже известны. Если есть сторона и угол напротив неё, теорема синусов сразу даёт отношение, из которого можно найти другую сторону или угол. Если известны две стороны и угол между ними, удобно вычислить третью сторону по теореме косинусов; она же подходит, когда известны все три стороны и нужно найти угол. Перед подстановкой полезно назвать искомую величину и проверить, что выбранный угол действительно расположен между нужными сторонами.
| Свойство | Теорема синусов | Теорема косинусов |
|---|---|---|
| Основная формула | a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R | c² = a² + b² − 2ab cos C; аналогично для a и b |
| Какие данные удобно использовать | Сторона и противолежащий ей угол | Две стороны и угол между ними либо три стороны |
| Что можно найти | Сторону, угол или радиус описанной окружности | Сторону или угол треугольника |
| Связь с радиусом описанной окружности | Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно 2R | Прямой связи в основной формуле нет |
| Особый случай | Помогает решать задачи с известной парой «сторона — противолежащий угол» | При прямом угле между сторонами превращается в теорему Пифагора |
Сначала найдите в таблице строку с данными, которые есть в условии, а затем выберите подходящую теорему. Для синусов особенно важно проверить пару «сторона — противолежащий угол». Для косинусов проверьте, что указан именно угол между известными сторонами.
Задача 1. В треугольнике A = 30°, B = 45°, a = 6. Найдите сторону b. Сторона a противоположна углу A, а сторона b — углу B. Поскольку известна сторона вместе с противолежащим углом, воспользуемся теоремой синусов.
Ответ: b = 6√2.
Задача 2. Две стороны треугольника равны 5 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Искомая сторона лежит напротив известного угла, поэтому применяем теорему косинусов. Обозначим её c, а известный угол — C.
Ответ: √39.
Задача 3. В треугольнике две стороны равны 5 и 7, угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону и остальные углы. Сначала найдём сторону напротив угла 60° тем же способом, что и в предыдущей задаче. Затем применим теорему синусов, а последний угол вычислим по сумме углов треугольника.
Ответ: третья сторона √39, остальные углы примерно 39,3° и 80,7°.
В теореме синусов иногда сопоставляют сторону с углом между сторонами, а не с противолежащим. Так случается, когда в обозначениях забывают, что a лежит напротив A, b — напротив B, c — напротив C. Перед вычислением отметьте пары «сторона — противоположный угол» и проверьте, что в дроби a/sin A стоят именно соответствующие величины.
В теореме косинусов можно взять косинус не того угла. Нужен угол между двумя сторонами, квадраты которых стоят в правой части, а искомая сторона лежит напротив него. Ошибка возникает, если просто подставить любой известный угол треугольника. Проверьте геометрию формулы: например, для c² используются стороны a и b, а косинус относится к углу C.
Ещё одна частая ошибка — забыть множитель 2 или записать перед произведением знак плюс. Это бывает при переносе формулы в вычисления или при раскрытии скобок. Сверьте запись с видом c² = a² + b² − 2ab cos C и отдельно проверьте подстановку чисел. Если угол острый, положительный cos C делает вычитаемое положительным, и оно действительно вычитается.
Теорему Пифагора иногда применяют к любому треугольнику, хотя она верна только для прямоугольного. Причина ошибки — узнаваемая запись суммы квадратов, которая в теореме косинусов появляется лишь в особом случае. Проверьте угол между двумя сторонами: если он не равен 90°, в формуле косинусов остаётся дополнительный член. При 90° cos C = 0, и только тогда получается c² = a² + b².
Для работы с теоремами синусов и косинусов нужны определения синуса и косинуса угла, теорема Пифагора и правило о сумме углов треугольника. Новые формулы расширяют привычные способы решения: они помогают находить стороны и углы, даже когда треугольник не прямоугольный. Поэтому по ним можно решать задачи на треугольники, окружности и измерение расстояний. В таких задачах важно сначала выделить известные данные и установить, как стороны соотносятся с углами.
Почему в теореме синусов сторона делится на синус противолежащего угла?
Если опустить высоту, одну и ту же высоту можно выразить через разные стороны и синусы углов. Поэтому отношения стороны к синусу противолежащего угла оказываются одинаковыми. Такое сопоставление работает для каждой стороны треугольника.
Что означает величина 2R в теореме синусов?
R — радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника. Поэтому 2R — диаметр этой описанной окружности. Именно ему равно каждое отношение стороны к синусу противолежащего угла.
Как понять, какую теорему применять в задаче?
Если известны сторона и противолежащий ей угол, обычно удобно начать с теоремы синусов. Если даны две стороны и угол между ними или известны все три стороны, подходит теорема косинусов. Перед выбором проверьте, к какому углу относится каждая сторона.
Почему в теореме косинусов стоит знак минус?
При вычислении квадрата третьей стороны учитывается проекция одной из известных сторон на другую. Эта проекция связана с косинусом угла между сторонами, и при раскрытии квадрата появляется вычитаемое 2ab cos C. Знак согласуется и с тем, что при остром угле третья сторона короче, чем при прямом.
Когда теорема косинусов превращается в теорему Пифагора?
Когда угол между двумя сторонами равен 90°, его косинус равен нулю. Член с косинусом исчезает, и квадрат третьей стороны становится равен сумме квадратов двух других. Это и есть теорема Пифагора.
§ 17. Теоремы синусов и косинусов
