72. Синус и косинус углов от 90° до 180°

Определения и обозначения

Синус тупого угла α, где 90° < α < 180°, равен синусу острого угла 180° − α. Например, если α = 120°, то соответствующий острый угол равен 60°, и sin 120° = sin 60°. Это правило позволяет находить синус тупого угла, используя знакомые значения для острых углов.

Косинус тупого угла α равен косинусу угла 180° − α, взятому с противоположным знаком: cos α = −cos(180° − α). Так, cos 120° = −cos 60°. Знак минус нужен потому, что косинус тупого угла отрицателен, тогда как косинус острого угла положителен.

Углы α и 180° − α называют дополнительными до 180°: их сумма равна 180°. Если α тупой, то 180° − α обязательно острый: из 180° вычитается число больше 90°, но меньше 180°. И наоборот, если один из двух таких углов острый, второй — тупой; эта связь подсказывает, какое острое значение использовать в формулах.

Как это устроено

Представим единичную окружность с центром в начале координат и отметим на ней точку, соответствующую углу α. Угол отсчитывают от положительного направления горизонтальной оси; для 90° < α < 180° точка находится во второй четверти — выше горизонтальной оси и левее вертикальной. Углу 180° − α соответствует точка в первой четверти. Обе точки находятся на одной высоте и симметричны относительно вертикальной оси.

На единичной окружности синус угла равен вертикальной координате точки. Поскольку симметричные относительно вертикальной оси точки имеют одинаковую высоту, синусы углов α и 180° − α равны. Именно поэтому переход от тупого угла к острому не меняет синус: меняется положение точки по горизонтали, но не по вертикали.

Косинус угла равен горизонтальной координате точки. У симметричных относительно вертикальной оси точек эти координаты одинаковы по величине, но имеют разные знаки: точка тупого угла находится слева, а точка острого — справа. Значит, косинусы противоположны, и косинус тупого угла отрицателен.

Если β — острый угол, то его тупой дополнительный угол равен 180° − β. Из рассуждений о координатах получаем формулы sin(180° − β) = sin β и cos(180° − β) = −cos β. Здесь β — именно острый угол, а 180° − β — тупой; если задан тупой α, в формулах можно взять β = 180° − α. Так одновременно видны и способ вычисления, и знак результата.

На границах диапазона расположены углы 90° и 180°. При 90° точка находится на вертикальной оси: sin 90° = 1, cos 90° = 0. При 180° точка лежит на горизонтальной оси слева: sin 180° = 0, cos 180° = −1; эти значения согласуются с продолжением изменений от 90° к 180°.

Синус и косинус углов от 90° до 180°

Сначала найди угол, дополнительный к данному до 180°, а затем используй таблицу: для синуса знак не меняется, для косинуса меняется. В строках со значениями на границах указаны точные значения функций. Последняя строка показывает, как они изменяются при увеличении угла.

Разбор задач

Задача 1. Найти sin 120° и cos 120°. Угол 120° тупой, поэтому сначала заменим его острым углом, дополнительным до 180°. Получим 180° − 120° = 60°. Синус при такой замене сохраняет значение, а косинус меняет знак.

1. Вычислим синус: sin 120° = sin 60° = √3/2.
2. Вычислим косинус: cos 120° = −cos 60° = −1/2.

Ответ: sin 120° = √3/2, cos 120° = −1/2. Отрицательный знак косинуса согласуется с тем, что 120° — тупой угол. Проверка знака помогает заметить ошибку, даже если вычисление острого угла было правильным.

Задача 2. Найти cos 150°, если известно, что sin 30° = 1/2. Здесь дан синус острого угла 30°, а требуется косинус тупого угла 150°. Чтобы применить формулу, сначала найдём косинус острого угла, дополнительного к 150° до 180°. Этот угол равен 30°, поскольку 180° − 150° = 30°.

1. Используем тождество sin² 30° + cos² 30° = 1: cos² 30° = 1 − (1/2)² = 3/4.
2. Так как 30° — острый угол и его косинус положителен, cos 30° = √3/2.
3. Меняем знак по формуле для тупого угла: cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

Ответ: cos 150° = −√3/2. Важно не подставлять значение sin 30° вместо cos 30°: это разные функции одного и того же угла. Известный синус помог найти косинус с помощью основного тригонометрического тождества.

Задача 3. Угол α находится между 90° и 180°, sin α = 1/2. Определить α и cos α. Сначала найдём острый угол, дополнительный до 180°: его синус тоже равен 1/2. Среди острых углов такое значение имеет угол 30°. После этого восстановим тупой угол и выберем знак его косинуса.

1. Пусть β = 180° − α. Тогда β острый и sin β = sin α = 1/2, значит, β = 30°.
2. Так как α = 180° − β, получаем α = 180° − 30° = 150°.
3. Косинус тупого угла отрицателен: cos α = −cos 30° = −√3/2.

Ответ: α = 150°, cos α = −√3/2. Условие о тупом угле важно: синус 1/2 бывает и у острого угла 30°, но α по условию лежит между 90° и 180°. Поэтому выбираем угол 150°, а не 30°.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать cos α = cos(180° − α) без минуса. Так делают, потому что запоминают равенство синусов и переносят его на косинусы; проверь себя по расположению точек — они по разные стороны вертикальной оси. Значит, горизонтальные координаты имеют противоположные знаки, и перед косинусом нужен минус.

Ошибка: считать синус тупого угла отрицательным. Знак иногда путают с косинусом или переносят правило из другой части окружности; проверь, что точка тупого угла лежит выше горизонтальной оси. Её вертикальная координата положительна, поэтому положителен и синус.

Ошибка: подставлять в формулы не тот угол. Если дан тупой α, острый угол для вычислений — 180° − α, а не α; вычисли разность и проверь, что результат меньше 90°. Например, для α = 120° нужен угол 60°.

Ошибка: применять формулы, забыв их ограничение. Связь описывает пару из острого и тупого углов, дополнительных до 180°, а не произвольный α; сначала проверь диапазон и сумму углов. Если угол не лежит между 90° и 180°, вывод о знаках может быть другим.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения синуса и косинуса острого угла, а также значения для основных углов, например 30° и 60°. Ещё понадобится умение находить угол, дополнительный до 180°, и понимать координаты точки на окружности. Новые формулы расширяют знакомые правила на тупые углы. Позже они помогут в задачах на треугольники и при изучении тригонометрических функций для углов в разных четвертях.

Что запомнить

• Для тупого угла α острый угол, дополнительный до 180°, равен 180° − α.
• sin α = sin(180° − α).
• cos α = −cos(180° − α).
• В интервале 90° < α < 180° синус положителен, а косинус отрицателен.
• sin 90° = 1, cos 90° = 0.
• sin 180° = 0, cos 180° = −1.