§ 48*. Золотое сечение

Определения и обозначения

Золотое сечение — деление отрезка на две части так, что отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей. Если части имеют длины x и a − x, это записывают так: a / x = x / (a − x). Такое условие отличает золотое сечение от любого обычного деления на неравные части.

Золотое отношение — общее значение двух равных отношений, возникающих при золотом сечении. Его обозначают греческой буквой φ: целый отрезок относится к большей части как φ. Это число удобно использовать в формулах и вычислениях: φ ≈ 1,618.

Золотой прямоугольник — прямоугольник, у которого отношение большей стороны к меньшей равно золотому отношению φ. Его особенность в том, что после отрезания квадрата остаётся прямоугольник с тем же соотношением сторон. Поэтому золотой прямоугольник обладает свойством самоподобия.

Как это устроено

Пусть длина всего отрезка равна a, большая часть равна x, а меньшая — a − x. Большая часть действительно должна быть x, потому что она меньше целого отрезка, но больше остатка. По определению золотого сечения записываем a / x = x / (a − x). Это равенство соединяет длины обеих частей и не позволяет выбрать их произвольно.

Чтобы избавиться от дробей, перемножим крайние и средние члены пропорции: a(a − x) = x². Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону: a² − ax − x² = 0. Удобнее найти не сами длины, а отношение r = a / x: тогда a = rx, и после подстановки получится r² − r − 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение: r = (1 ± √5) / 2. Один корень равен (1 + √5) / 2, а второй — (1 − √5) / 2, то есть примерно −0,618. Отрицательное значение не может быть отношением длин, поэтому выбираем положительный корень: φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.

Из уравнения φ² − φ − 1 = 0 следует φ² = φ + 1. Если разделить это равенство на φ, получится φ = 1 + 1 / φ. Эти формулы объясняют, почему золотое отношение можно представить как сумму единицы и обратного к самому себе числу.

Пусть весь отрезок имеет длину a. Так как a / x = φ, большая часть находится делением: x = a / φ. Меньшая часть равна a − x. В золотом прямоугольнике стороны можно обозначить L и S, причём L / S = φ; после отрезания квадрата со стороной S остаются стороны S и L − S. Поскольку L = φS, получаем L − S = (φ − 1)S = S / φ, поэтому S / (L − S) = φ: новый прямоугольник сохраняет то же отношение.

Золотое сечение: определения и соотношения

Таблица помогает быстро выбрать нужную формулу в зависимости от того, что дано в задаче. Сначала определите, рассматривается ли отрезок или прямоугольник, затем сопоставьте его величины с обозначениями. Если известна общая длина отрезка, для поиска большей части используйте деление на φ.

Разбор задач

Задача 1

Условие: отрезок длиной 10 см разделён в золотом отношении. Найдите длины большей и меньшей частей.

1. Обозначим большую часть через x. Тогда меньшая часть равна 10 − x, а условие имеет вид 10 / x = x / (10 − x).
2. Перемножим крест-накрест: 10(10 − x) = x². После раскрытия скобок получим x² + 10x − 100 = 0.
3. По формуле корней находим x = (−10 + √500) / 2 = 5(√5 − 1) ≈ 6,18. Второй корень отрицательный, поэтому для длины он не подходит.
4. Меньшая часть равна 10 − 6,18 ≈ 3,82 см. Проверка: 10 / 6,18 ≈ 1,618 и 6,18 / 3,82 ≈ 1,618.

Ответ: большая часть примерно 6,18 см, меньшая — примерно 3,82 см.

Задача 2

Условие: золотое отношение φ удовлетворяет равенству φ = 1 + 1 / φ. Найдите φ.

1. Умножим обе части равенства на φ. Получим φ² = φ + 1, или φ² − φ − 1 = 0.
2. Решаем квадратное уравнение: φ = (1 ± √5) / 2. Численно корни равны примерно 1,618 и −0,618.
3. Золотое отношение сравнивает положительные длины, поэтому отрицательный корень исключаем.

Ответ: φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.

Задача 3

Условие: стороны прямоугольника равны 8 см и 13 см. Определите, близко ли их отношение к золотому, и найдите размеры оставшегося прямоугольника после отрезания квадрата со стороной 8 см.

1. Отношение большей стороны к меньшей равно 13 / 8 = 1,625. Оно очень близко к φ ≈ 1,618: разница составляет около 0,007.
2. После удаления квадрата 8 × 8 см остаётся прямоугольник со сторонами 8 см и 13 − 8 = 5 см.
3. Проверим новую пропорцию: 8 / 5 = 1,6. Это также близко к φ, поэтому исходный прямоугольник является хорошим приближением к золотому, а оставшийся сохраняет почти ту же форму.

Ответ: отношение 13 / 8 близко к золотому; размеры оставшегося прямоугольника — 8 см и 5 см.

Типичные ошибки

Переставляют части в пропорции. Иногда записывают большую часть / целое вместо целое / большую часть. Проверяйте порядок: по определению a / x = x / (a − x).

Считают золотым любое неравное деление. Неравенство частей ещё ничего не доказывает. Нужно вычислить оба отношения и убедиться, что они равны или очень близки из-за округления.

Берут отрицательный корень. Такой результат появляется при решении квадратного уравнения, но длины и их отношения должны быть положительными. Подставьте корень обратно и проверьте смысл ответа.

Путают золотое отношение с отношением большей части к целому. Величина φ относится к отношению целого к большей части, поэтому она больше единицы. Отношение большей части к целому равно 1 / φ и меньше единицы.

Связь с другими темами

Для изучения золотого сечения нужны навыки работы с отношениями, пропорциями и квадратными уравнениями. При решении задач используются умножение пропорции крест-накрест, свойства корней и проверка положительности длины.

Золотое сечение связано с пропорциональностью и подобием фигур: именно подобие объясняет сохранение формы золотого прямоугольника. Эти идеи применяются также в геометрических построениях и при изучении пропорций в искусстве и архитектуре.

Что запомнить

• В золотом сечении целое относится к большей части так же, как большая часть — к меньшей.
• Золотое отношение φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
• Золотое отношение удовлетворяет равенствам φ² = φ + 1 и φ = 1 + 1 / φ.
• Если длина отрезка равна a, его большая часть при золотом делении равна a / φ.
• У золотого прямоугольника отношение большей стороны к меньшей равно φ.
• После отрезания квадрата от золотого прямоугольника оставшаяся часть подобна исходному прямоугольнику.