"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Подобные фигуры имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны, поэтому могут отличаться размером, но сохраняют форму. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз меняются их длины. Гомотетия — преобразование относительно центра: оно переносит точки вдоль прямых, проходящих через этот центр, и одинаково изменяет расстояния. Эти понятия помогают сравнивать фигуры, выполнять построения и находить длины без непосредственного измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры, у которых равны соответствующие углы, а длины соответствующих сторон пропорциональны. Соответствующими называют элементы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении фигур. Например, если вершины A, B, C сопоставлены вершинам A₁, B₁, C₁, то сторонам AB, BC, CA соответствуют A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁. Это определение позволяет отличить одинаковую форму от просто похожего внешнего вида.
Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон двух подобных фигур. Если сравниваем первую фигуру со второй, то коэффициент k можно найти как длину стороны второй фигуры, делённую на длину соответствующей стороны первой. Он показывает, во сколько раз соответствующая длина изменилась: при k > 1 она увеличилась, а при 0 < k < 1 уменьшилась. Если поменять фигуры местами, получится обратное отношение.
Гомотетия с центром O и коэффициентом k — преобразование, которое переводит каждую точку A в точку A′ на прямой OA так, что OA′ = |k| · OA. При k > 0 точки A и A′ лежат на одном луче из O, а при k < 0 — по разные стороны от O. Модуль |k| задаёт изменение расстояния, а знак определяет расположение образа. Гомотетия нужна, чтобы строить фигуры, полученные единым увеличением или уменьшением.
Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой располагаются исходные точки и их образы. Для каждой точки A центр, A и её образ A′ лежат на одной прямой. При этом сам центр переходит в себя, потому что расстояние от него до его образа равно нулю. По расположению точек относительно O можно понять знак коэффициента.
Чтобы найти коэффициент подобия, сначала установи, какие стороны соответствуют друг другу, а затем раздели длину стороны одной фигуры на длину соответствующей стороны другой. Например, если сторона первого треугольника равна 3, а соответствующая сторона второго — 6, отношение второй длины к первой равно 6 : 3 = 2. У подобных фигур такое же отношение должно получаться для любой пары соответствующих сторон. Это следует из того, что фигуры увеличены или уменьшены в одном масштабе, а не каждая сторона по-своему.
При сравнении многоугольников проверяют два условия: равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон. Углы нужно сопоставлять по вершинам, а не сравнивать произвольные углы из двух фигур. Затем проверяют, что отношения всех соответствующих сторон одинаковы. Если выполнены оба условия, многоугольники подобны: форма сохранена, а размеры отличаются одним общим множителем.
Чтобы построить образ точки A при гомотетии, проведи прямую через центр O и точку A. От центра отложи расстояние, равное |k| · OA: при положительном коэффициенте отметь его на луче OA, а при отрицательном — на противоположном луче. Так получается точка A′, причём O, A и A′ лежат на одной прямой. Например, при OA = 3 см и k = 2 расстояние до образа равно 6 см; при k = −2 оно тоже равно 6 см, но образ окажется по другую сторону от O.
Гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую. Это происходит потому, что точки прямой смещаются относительно O с одним и тем же коэффициентом, и направление самой прямой не меняется. Любой отрезок превращается в отрезок, длина которого равна исходной длине, умноженной на |k|. Значит, можно узнать новую длину, не строя весь образ, если известны исходная длина и коэффициент.
У гомотетичных фигур углы сохраняются, а все длины умножаются на одно и то же число |k|. Поэтому отношения соответствующих сторон остаются одинаковыми: общий множитель сокращается при делении одной длины на другую. Именно так выполняются оба условия подобия. Следовательно, гомотетия всегда переводит фигуру в подобную ей фигуру.
| Что сравниваем | Подобные фигуры | Гомотетичные фигуры |
|---|---|---|
| Соответствующие углы | Равны | Равны, сохраняются при преобразовании |
| Отношение соответствующих сторон | Одинаково для всех пар | Одинаково и равно отношению длин после преобразования |
| Изменение длин при коэффициенте k | Длины связаны коэффициентом подобия | Каждая длина умножается на |k| |
| Положение соответствующих точек | Может быть любым | Точка, центр и её образ лежат на одной прямой |
| Связь понятий | Описывает равенство углов и пропорции сторон | Даёт частный способ получить подобную фигуру |
Пользуйся таблицей, чтобы различить условие подобия и конкретное преобразование. Для проверки подобия сравни углы и отношения сторон, а для гомотетии дополнительно учитывай центр и расположение образов. В длинах при гомотетии применяй модуль коэффициента.
Задача 1. Стороны двух треугольников равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Определите, подобны ли треугольники, и найдите коэффициент подобия. Сопоставляем стороны в указанном порядке: 3 с 6, 4 с 8, 5 с 10. Проверка всех трёх отношений нужна, чтобы убедиться, что размер изменился одинаково.
Ответ: треугольники подобны, коэффициент подобия от первого ко второму равен 2. Здесь достаточно проверки пропорциональности сторон: для треугольников равенство трёх отношений сторон является признаком подобия.
Задача 2. У подобных многоугольников коэффициент подобия равен 2,5. Найдите сторону второго многоугольника, соответствующую стороне первого длиной 4 см. Коэффициент задаёт порядок сравнения: в этой задаче длина второй стороны получается умножением первой на 2,5. Это не обратное отношение, поскольку спрашивается сторона именно второго многоугольника.
Ответ: 10 см. Если бы коэффициент был задан для перехода от второго многоугольника к первому, пришлось бы использовать обратное отношение. Поэтому полезно записать порядок фигур перед вычислениями.
Задача 3. Дан треугольник ABC и центр O. Постройте его образ при гомотетии с коэффициентом 2 и найдите длину образа стороны, равной 3 см. Для построения нужно найти образы всех трёх вершин, потому что по ним можно провести стороны нового треугольника. Положительный коэффициент означает, что образы располагаются на тех же лучах, что и исходные вершины.
Ответ: образ стороны равен 6 см. Построение вершин показывает, где расположена новая фигура, а умножение длины на модуль коэффициента позволяет найти её размер.
Считать фигуры подобными только из-за равенства углов — ошибка: углы могут совпадать, а соответствующие стороны быть непропорциональными. Так думают, когда сосредотачиваются на форме и забывают проверить размеры. Составь отношения нескольких пар сторон и проверь, что они одинаковы; для многоугольников также сопоставь все углы.
Сравнение несоответствующих сторон или случайная смена порядка в отношениях приводит к неверному коэффициенту. Ошибка возникает, если не записать, какая вершина соответствует какой, либо перепутать порядок сторон. Сначала подпиши соответствующие вершины, а затем составляй каждое отношение в одном порядке. Проверь результат на второй паре сторон: коэффициенты должны совпасть.
Коэффициент подобия иногда путают с обратным, потому что не указано, какая фигура считается первой. Если разделить длину первой фигуры на длину второй вместо второго на первое, получится обратное число. Перед вычислением запиши направление перехода, например первая → вторая, и проверь, согласуется ли коэффициент с размерами фигур. Коэффициент больше 1 должен соответствовать увеличению при выбранном направлении.
При гомотетии нельзя без проверки знака умножать длины на k: длина не бывает отрицательной. В формулах для расстояний и отрезков используют |k|, а знак коэффициента показывает, по какую сторону от центра лежит образ. Чтобы проверить построение, сравни OA′ с |k| · OA и посмотри, совпадает ли расположение точек с выбранным знаком. При k < 0 образ должен оказаться на противоположном луче.
Для работы с подобием понадобятся пропорции и отношения отрезков: без них нельзя проверить, одинаков ли масштаб сторон. Признаки равенства треугольников помогают уверенно сопоставлять соответствующие вершины, а свойства параллельных прямых встречаются при изучении гомотетии. Подобие применяют в задачах на масштаб, пропорциональные отрезки и измерение недоступных расстояний. Гомотетия знакомит с преобразованиями фигур и помогает использовать подобие в доказательствах и построениях.
Как понять, какие стороны фигур являются соответствующими?
Сначала сопоставь вершины, образующие равные углы, в одном и том же порядке. Стороны между соответствующими парами вершин и будут соответствующими. Например, если вершина A соответствует A₁, а B — B₁, то сторона AB соответствует A₁B₁.
Достаточно ли равенства углов, чтобы доказать подобие фигур?
Нет, нужно также проверить, что отношения длин всех соответствующих сторон одинаковы. Равенство углов показывает совпадение формы по углам, но длины сторон могут изменяться по-разному. Для подобия многоугольников нужны оба условия.
Как определить коэффициент подобия и не перепутать его с обратным?
Сначала укажи порядок фигур, например первая → вторая, а затем раздели длину стороны второй фигуры на длину соответствующей стороны первой. Проверь ещё одну пару сторон: отношение должно получиться тем же. При обратном порядке фигур коэффициент будет обратным.
Как построить образ точки при гомотетии?
Проведи из центра O луч через точку A. На этом луче отложи расстояние, равное |k| · OA: при положительном k образ находится в направлении от O к A, а при отрицательном — на противоположном луче. Полученная точка A′ и есть образ.
Почему гомотетичные фигуры всегда подобны?
При гомотетии каждая длина умножается на одно и то же число |k|, поэтому отношения соответствующих сторон совпадают. Углы при этом сохраняются, так как стороны переходят в параллельные или лежащие на тех же прямых. Значит, выполнены оба условия подобия.
§ 47. Подобие фигур. Гомотетия
