"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, диагональ прямоугольника или расстояние между точками. Для проверки треугольника используют обратное утверждение: если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. Этот угол называют прямым. Наличие прямого угла позволяет применять специальное соотношение между сторонами.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. В каждом таком треугольнике два катета, обычно их обозначают a и b. Именно их квадраты складывают в теореме Пифагора.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Её обозначают буквой c; она всегда длиннее каждого катета. По положению гипотенузу находят надёжнее, чем просто по длине стороны.
Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула записывается так: c² = a² + b². Она помогает вычислять неизвестную сторону и проверять прямоугольность треугольника.
Если катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — c, то для них выполняется равенство c² = a² + b². Квадрат длины означает произведение этой длины самой на себя, например a² = a · a. Поэтому теорема связывает не сами стороны, а площади квадратов с такими сторонами.
На каждой стороне треугольника можно построить квадрат. Площадь квадрата на гипотенузе равна c², а площади квадратов на катетах равны a² и b². Значит, геометрический смысл теоремы таков: один большой квадрат по площади равен двум квадратам на катетах вместе.
Доказать это можно способом равносоставленных фигур. Возьмём четыре одинаковых прямоугольных треугольника и разместим их внутри большого квадрата со стороной a + b. В одном расположении в центре останется квадрат со стороной c, а в другом — два квадрата со сторонами a и b; внешняя площадь и площади треугольников одинаковы, значит, одинаковы и оставшиеся части. Поэтому c² = a² + b².
Если известны оба катета, сначала находят сумму их квадратов, а затем извлекают корень: c = √(a² + b²). Если известны гипотенуза и катет b, из равенства вычитают b² и получают a² = c² − b². После этого находят положительное значение a = √(c² − b²), потому что длина не может быть отрицательной.
Обратное утверждение позволяет узнать вид треугольника по трём сторонам. Для этого наибольшую сторону принимают за предполагаемую гипотенузу и проверяют c² = a² + b². Равенство означает, что угол напротив стороны c прямой, поэтому треугольник прямоугольный.
| Что требуется найти | Что известно | Действие |
|---|---|---|
| Гипотенузу c | Оба катета a и b | Вычислить c = √(a² + b²) |
| Катет a | Гипотенуза c и другой катет b | Вычислить a = √(c² − b²) |
| Проверить, прямоугольный ли треугольник | Длины всех трёх сторон | Проверить, равен ли квадрат наибольшей стороны сумме квадратов двух остальных |
Сначала определите, какая сторона является гипотенузой, или выберите наибольшую сторону при проверке обратной теоремы. Затем запишите формулу с буквами и только после этого подставляйте числа. В конце проверьте единицы измерения и убедитесь, что найденная гипотенуза не меньше катетов.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу. Известны оба катета, поэтому нужно применить формулу для гипотенузы.
Ответ: 10 см. Число 10 больше каждого катета, поэтому результат согласуется со свойством гипотенузы.
Задача 2. Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Неизвестный катет обозначим a, а известный катет — b = 5 см.
Ответ: 12 см. Проверка даёт 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13², значит, вычисление выполнено верно.
Задача 3. Стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см. Определите, является ли он прямоугольным. Наибольшая сторона 15 см может быть гипотенузой, поэтому проверим обратную теорему.
Ответ: треугольник прямоугольный. Прямой угол лежит напротив стороны длиной 15 см.
Гипотенузой иногда считают любую самую длинную сторону, не выяснив, где прямой угол. Так делают, потому что в прямоугольном треугольнике она действительно самая длинная. Сначала найдите сторону напротив угла 90°, а затем проверьте её длину.
Некоторые записывают c = a² + b² вместо c² = a² + b² или подставляют стороны не на свои места. Ошибка возникает из-за смешения длины и площади квадрата. Обозначьте катеты и гипотенузу буквами, возведите каждую длину в квадрат и только потом считайте.
При поиске катета иногда складывают квадраты, хотя неизвестный катет нужно отделить от суммы. Из c² = a² + b² следует a² = c² − b², поэтому используется вычитание. Проверьте результат обратной подстановкой в исходную формулу.
При проверке треугольника складывают квадраты двух случайных сторон. Обратная теорема требует сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух остальных. Если равенство не выполняется, данный треугольник не является прямоугольным.
До изучения теоремы нужно уметь распознавать прямоугольный треугольник, называть его стороны и выполнять действия с квадратами и квадратными корнями. Эти навыки нужны, чтобы правильно выбрать формулу и получить длину стороны.
Теорема применяется в задачах на длины отрезков, диагонали прямоугольника и расстояния между точками. Например, диагональ прямоугольника образует с его сторонами прямоугольный треугольник.
Позже это соотношение используется в координатной геометрии, при изучении подобных треугольников и тригонометрии. Оно помогает переходить от геометрической фигуры к вычислениям.
Как определить, какая сторона прямоугольного треугольника является гипотенузой?
Гипотенуза лежит напротив прямого угла, то есть угла 90°. Поэтому сначала найдите прямой угол, а затем противоположную ему сторону. Она же является самой длинной стороной треугольника.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорема Пифагора прямо применяется только к прямоугольному треугольнику. В обычном треугольнике нет катетов и гипотенузы в этом смысле. Однако обратную теорему можно использовать, чтобы доказать, что треугольник прямоугольный.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета: a² = c² − b². Затем извлеките квадратный корень: a = √(c² − b²).
Как проверить по длинам сторон, что треугольник прямоугольный?
Выберите наибольшую сторону и обозначьте её c. Возведите все стороны в квадрат и проверьте равенство c² = a² + b². Если оно выполняется, треугольник прямоугольный.
Почему при поиске катета нужно вычитать квадраты?
В теореме Пифагора квадрат гипотенузы состоит из суммы квадратов двух катетов: c² = a² + b². Чтобы оставить a², из обеих частей равенства вычитают b², поэтому получают a² = c² − b².
§ 49. Теорема Пифагора
