§ 27. Теорема Пифагора

Определения и обозначения

Прямоугольным называют треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Этот угол отмечают маленьким квадратиком возле вершины. Такое название сразу подсказывает, что к треугольнику можно применить теорему Пифагора.

Катеты — это стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Они сходятся в вершине этого угла, поэтому на чертеже их легко найти по отметке прямого угла. Знание катетов нужно, чтобы подставить их длины в теорему и вычислить третью сторону.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она длиннее каждого катета: напротив самого большого угла треугольника лежит самая длинная сторона. Определить гипотенузу важно до вычислений, иначе в формуле можно перепутать стороны.

Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты обозначить a и b, а гипотенузу — c, получим равенство a² + b² = c². Оно связывает длины всех трёх сторон и помогает найти неизвестную, когда известны две остальные.

Как это устроено

На схеме прямоугольного треугольника отметьте прямой угол, например, при вершине C. Тогда стороны AC и BC, которые сходятся в этой вершине, — катеты, а AB напротив C — гипотенуза. Катеты часто обозначают буквами a и b, гипотенузу — буквой c; такая запись помогает не перепутать их роли в равенстве a² + b² = c².

Квадрат числа — это произведение числа на само себя, а геометрически сторона длины a задаёт квадрат площадью a². Поэтому теорему можно представить так: на каждой стороне треугольника построен квадрат, и площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Это объясняет, почему в формуле стоят именно квадраты, а не сами длины сторон.

Если известны оба катета, их квадраты складывают: c² = a² + b². Чтобы получить длину гипотенузы, из результата извлекают квадратный корень: c = √(a² + b²). Если известны гипотенуза и один катет, из c² = a² + b² выражают неизвестный катет: a² = c² − b², значит, a = √(c² − b²). Вычитание нужно потому, что квадрат известного катета уже составляет часть суммы квадратов.

Обратная теорема Пифагора помогает проверить, прямоугольный ли треугольник, когда известны все стороны. Наибольшую сторону предполагают гипотенузой и сравнивают её квадрат с суммой квадратов двух других сторон. Если равенство выполняется, треугольник прямоугольный; если нет — он не прямоугольный. Проверяют именно наибольшую сторону, потому что гипотенуза должна быть напротив прямого угла и длиннее катетов.

В практической задаче сначала найдите на чертеже прямой угол и выделите треугольник, в котором требуется вычислить сторону. Например, диагональ прямоугольника вместе с его длиной и шириной образует прямоугольный треугольник: угол между сторонами прямой, а диагональ напротив него. После этого подпишите известные длины, определите, что нужно найти, и выберите формулу для катета или гипотенузы.

Теорема Пифагора и её применение

Сначала определите, какая сторона неизвестна, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Для проверки прямоугольности не ищите сторону по формуле: сравните квадраты длин. Во всех случаях сначала убедитесь, что стороны относятся к одному прямоугольному треугольнику, если вы применяете прямую теорему.

Разбор задач

Задача 1

Условие: катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. Искомая сторона лежит напротив прямого угла, поэтому обозначим её c. Для нахождения гипотенузы нужно сложить квадраты катетов.

1. Запишем теорему Пифагора: c² = a² + b².
2. Подставим известные длины: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
3. Извлечём квадратный корень: c = √25 = 5 см. Берём положительное значение, так как длина стороны больше нуля.

Ответ: гипотенуза равна 5 см. Проверка помогает заметить ошибку: найденная гипотенуза длиннее каждого катета. Кроме того, 3² + 4² действительно равно 5².

Задача 2

Условие: гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Обозначим неизвестный катет через a, а известный — через b. Здесь нельзя складывать квадраты: квадрат гипотенузы уже равен сумме квадратов обоих катетов, поэтому неизвестную часть найдём вычитанием.

1. Запишем равенство: a² + 5² = 13².
2. Выразим квадрат неизвестного катета: a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Извлечём корень: a = √144 = 12 см. Отрицательное значение не подходит, потому что длина стороны положительна.

Ответ: второй катет равен 12 см. Проверим результат: 12² + 5² = 144 + 25 = 169, а это 13². Значит, найденная длина согласуется с теоремой.

Задача 3

Условие: стороны треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Определите, является ли он прямоугольным. Прежде чем подставлять числа, выберем наибольшую сторону: 17 см. Если треугольник прямоугольный, именно она должна быть гипотенузой.

1. Возведём в квадрат наибольшую сторону: 17² = 289.
2. Найдём сумму квадратов двух других сторон: 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
3. Сравним результаты: 17² = 8² + 15². Равенство выполняется, поэтому по обратной теореме треугольник прямоугольный.

Ответ: да, треугольник прямоугольный. Если бы квадраты не совпали, это означало бы, что он не прямоугольный. В этой проверке важно сначала найти наибольшую сторону, иначе можно ошибочно назначить гипотенузой катет.

Типичные ошибки

Первая ошибка — назвать гипотенузой просто самую длинную сторону любого треугольника. Гипотенуза бывает только у прямоугольного треугольника, поэтому сперва нужно найти или проверить прямой угол. Чтобы проверить себя, отметьте угол 90°: сторона напротив него и будет гипотенузой.

Вторая ошибка — подставить в формулу стороны не на свои места. Так бывает, если ориентироваться только на длины и не смотреть на положение прямого угла. Перед вычислением подпишите катеты у вершины прямого угла, а гипотенузу — напротив него; затем проверьте, что её квадрат стоит отдельно в равенстве c² = a² + b².

Третья ошибка — при нахождении катета сложить квадраты. Ученик может запомнить сложение из основной формулы, но забыть, что неизвестный катет выделяют из суммы вычитанием: a² = c² − b². Проверка проста: подставьте найденные длины обратно и убедитесь, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Четвёртая ошибка — остановиться на значении квадрата стороны или неверно записать единицы. Например, если a² = 144, длина равна 12, а не 144; после извлечения корня укажите сантиметры, если исходные длины даны в сантиметрах. В конце проверьте, что ответ относится к длине, положителен и выражен в нужных единицах.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой пригодятся умения распознавать прямой угол, возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Если корень из полученного числа не извлекается нацело, длину можно оставить в виде корня или найти приближённо, если этого требует задача. В любом случае сначала нужно правильно определить стороны треугольника.

Теорема помогает находить расстояния и диагонали: достаточно представить искомый отрезок стороной прямоугольного треугольника. Она также встречается в задачах на подобие и вычисление площадей, где сначала требуется определить длину стороны. Поэтому важно не только помнить формулу, но и уметь выделить нужный треугольник на чертеже.

Что запомнить

• Теорема Пифагора применяется к прямоугольному треугольнику.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².
• Чтобы найти катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат другого катета.
• Обратная теорема позволяет проверить, прямоугольный ли треугольник.
• При проверке обратной теоремы сравнивают квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.