§ 28. Вписанные углы

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её в двух точках. Чтобы его распознать, проверь сначала положение вершины, затем проследи, где стороны встречают окружность. Такое определение помогает отличать вписанный угол от центрального и правильно выбирать нужное свойство.

Дуга, на которую опирается вписанный угол, — часть окружности между точками пересечения его сторон с окружностью, не содержащая вершину. Например, у угла ABC стороны пересекают окружность в точках A и C, поэтому нужная дуга AC не проходит через B. Это уточнение нужно, чтобы не взять другую дугу между теми же точками.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны проходят через концы дуги, и градусная мера такого угла равна градусной мере этой дуги. Центральный угол служит связующим звеном: с его помощью можно сравнить дугу и вписанный угол.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, — вписанные углы, стороны которых проходят через концы этой дуги. Их вершины могут находиться в разных точках окружности, но сама дуга остаётся общей и не содержит ни одну из вершин. Это понятие помогает сразу установить равенство таких углов.

Как это устроено

Связь вписанного угла с дугой удобно увидеть через центральный угол. У обоих углов одни и те же концы сторон на окружности, значит, они связаны с одной дугой. Центральный угол равен мере этой дуги, поэтому достаточно сравнить его с вписанным углом. Такое сравнение и даёт правило для вычислений.

Теорема утверждает: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Иначе говоря, если дуга равна 84°, то угол равен 84° : 2 = 42°. Делить нужно именно на два, потому что центральный угол, соответствующий той же дуге, вдвое больше вписанного.

Для доказательства проведём радиусы от центра O к концам дуги A и C. Радиусы равны, поэтому треугольники с ними равнобедренные, а углы при основаниях можно связать с углами исходного треугольника. Если центр лежит на стороне вписанного угла, центральный угол получается как внешний угол равнобедренного треугольника и равен удвоенному углу при окружности. Если центр находится внутри угла, проведённый к вершине радиус делит и центральный, и вписанный углы на части; для каждой части получается та же связь, а при сложении — нужное равенство. Если центр вне угла, рассматривают разность соответствующих частей: удвоенные части центрального угла дают вдвое больший результат и здесь.

Если вписанный угол опирается на полуокружность, его дуга равна 180°. По теореме угол равен 180° : 2 = 90°, то есть он прямой. Полуокружность возникает, когда концы дуги — концы диаметра, поэтому этот вывод также применяют к углу, опирающемуся на диаметр.

Два вписанных угла, опирающиеся на одну дугу, равны, потому что каждый равен половине меры этой общей дуги. При поиске угла сначала проверь, действительно ли у обоих углов совпадают концы опорной дуги и не содержит ли она их вершины. Если совпадают, вычислять меру дуги отдельно не нужно: углы сразу равны.

Свойства вписанного угла

Сначала найди подходящую ситуацию в первом столбце. Затем используй связь из второго столбца и запиши вывод; так легче выбрать нужное правило, а не смешать их.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный угол опирается на дугу величиной 84°. Найти угол.

1. Определяем, что дана мера дуги, а требуется мера вписанного угла.
2. По теореме угол составляет половину дуги, поэтому вычисляем 84° : 2 = 42°.
3. Проверяем: полученный угол меньше дуги, как и должно быть по теореме.

Ответ: 42°.

Задача 2. Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, не содержащую точку B. Угол ABC равен 37°. Найти меру дуги AC.

1. Угол уже известен, а дугу нужно найти, поэтому применяем теорему в обратном направлении.
2. Мера дуги в два раза больше вписанного угла: 37° · 2 = 74°.
3. Уточнение «не содержащую точку B» подтверждает, что речь идёт об опорной дуге.

Ответ: 74°.

Задача 3. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Углы ABC и ADC опираются на одну и ту же дугу AC. Если угол ABC равен 48°, найти угол ADC и объяснить ответ.

1. Оба угла вписанные, и по условию их общая опорная дуга — AC.
2. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому величина угла ADC совпадает с величиной угла ABC.
3. Записываем значение известного угла без дополнительных вычислений.

Ответ: 48°, поскольку углы опираются на одну и ту же дугу.

Типичные ошибки

Иногда за опорную дугу принимают дугу, содержащую вершину угла. Так происходит, когда смотрят только на концы сторон и не проверяют расположение вершины. Найди обе дуги между концами сторон и выбери ту, на которой вершины нет. Это простое уточнение предотвращает ошибку в выборе меры.

Другая ошибка — приравнять вписанный угол к дуге и забыть деление на два. Обычно так случается, если помнить, что угол связан с дугой, но не знать точную формулу. Проверь результат на полуокружности: дуга 180° должна давать угол 90°, а не 180°. Для обратного перехода от угла к дуге, наоборот, нужно умножать на два.

Не всякий вписанный угол прямой: это верно только для угла, опирающегося на полуокружность. Прямой угол ошибочно связывают с любой дугой, потому что путают особый случай с общим правилом. Найди меру дуги: если она не равна 180°, из теоремы нельзя получить вывод о прямом угле.

Вписанные углы не становятся равными только оттого, что оба имеют вершины на окружности. Для равенства требуется одна и та же опорная дуга, а не просто принадлежность к одному кругу. Сравни концы дуг и проверь, что выбранная дуга не содержит вершин углов. Если дуги разные, сначала нужно найти меры углов по отдельности.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться во вписанных углах, нужно знать элементы окружности, центральный угол и градусную меру дуги. Доказательство использует свойства равнобедренного треугольника и правило о сумме углов треугольника. Эти знания помогают понять, откуда берётся множитель ½, а не просто запомнить формулу. Позже правило пригодится в задачах на окружность, вписанные четырёхугольники и доказательство равенства углов.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Дуга, соответствующая вписанному углу, не содержит его вершину.
• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.