18.1. Вписанные углы

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Например, если вершина угла C находится на окружности, а его стороны пересекают её в точках A и B, то угол ACB — вписанный. У центрального угла вершина находится в центре окружности, поэтому это другой вид угла.

Дуга, на которую опирается вписанный угол, — часть окружности между точками пересечения его сторон с окружностью. Для угла ACB такими точками являются A и B, а опирающаяся дуга обозначается AB. Между A и B есть две дуги, поэтому выбирают ту, которая не содержит вершину C; так становится ясно, какую именно дугу используют в вычислениях.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла. Например, если центральный угол AOB опирается на дугу AB, то мера дуги AB равна величине угла AOB. Чтобы определить дугу для вписанного угла, отметь места пересечения его сторон с окружностью и выбери часть окружности между ними, не содержащую вершину угла.

Как это устроено

Пусть A и B — точки окружности, C — точка на окружности, а O — центр. Соедини O с A и B: центральный угол AOB опирается на дугу AB. Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу, но его стороны — лучи CA и CB, а вершина находится в точке C. Общими для углов являются концы дуги A и B, тогда как третья точка C задаёт положение вписанного угла.

Проведём радиус OC к вершине вписанного угла. В треугольниках AOC и BOC стороны OA и OC равны, как и OB и OC: это радиусы одной окружности. Значит, треугольники равнобедренные, и в каждом углы при основании равны. Если обозначить эти углы через α и β, то угол ACB складывается из α и β, а угол AOB выражается через удвоенные углы при основаниях.

Если O находится внутри угла ACB, то луч OC делит вписанный угол на две части. Каждая часть вместе с соответствующим углом при основании образует равнобедренный треугольник, поэтому ∠ACB = α + β, а центральный угол AOB = 2α + 2β. Отсюда ∠ACB = ½∠AOB. Это объясняет, почему вписанный угол вдвое меньше центрального, если оба опираются на одну дугу.

Если центр лежит на стороне вписанного угла, эта сторона проходит по диаметру. Тогда одна из частей рассуждения вырождается в прямой угол, и соотношение между углами сохраняется. Если центр находится вне угла, проведённый радиус делит фигуру на два равнобедренных треугольника; нужные углы получаются вычитанием соответствующих частей. И в этом случае вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

Из теоремы сразу следует: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, потому что каждый составляет половину её меры. Особый случай возникает, когда стороны угла проходят через концы диаметра: дуга, не содержащая вершину, составляет полуокружность, то есть 180°. Поэтому такой вписанный угол равен 180° : 2 = 90°.

Углы, связанные с одной дугой окружности

Сначала определи дугу, на которую опираются углы, и проверь, что она одна и та же. Если известна мера дуги или центральный угол, для вписанного угла бери половину этой величины. Для обратного перехода умножай вписанный угол на два.

Разбор задач

Задача 1. Центральный угол AOB равен 86°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу AB. Углы опираются на одну дугу, поэтому применяется теорема о вписанном угле. Нужно найти половину центрального угла.

1. Запишем связь: ∠ACB = ½∠AOB.
2. Подставим известное значение: ∠ACB = 86° : 2.
3. Выполним деление: ∠ACB = 43°.

Ответ: 43°. Проверка проста: центральный угол должен быть вдвое больше вписанного, а 43° × 2 = 86°. Делить на два можно именно потому, что оба угла опираются на дугу AB.

Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу AB, градусная мера которой равна 124°. Найдите угол ACB. Здесь дана не величина центрального угла, а мера дуги. По определению она равна соответствующему центральному углу, поэтому теорема применима напрямую.

1. Запишем формулу: ∠ACB = ½ меры дуги AB.
2. Подставим число: ∠ACB = 124° : 2.
3. Получим: ∠ACB = 62°.

Ответ: 62°. Можно рассуждать и через центральный угол: он равен 124°, а вписанный угол на той же дуге вдвое меньше. Убедись, что указана именно дуга, не содержащая вершину C.

Задача 3. В окружности AC — диаметр, а угол BAC равен 37°. Найдите углы ABC и ACB. Сначала используем свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр AC: это угол ABC напротив диаметра. Затем найдём оставшийся угол треугольника ABC.

1. Так как AC — диаметр, ∠ABC = 90°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ACB = 180° − 90° − 37°.
3. Вычислим: ∠ACB = 53°.

Ответ: ∠ABC = 90°, ∠ACB = 53°. Проверка: 37° + 90° + 53° = 180°. Здесь важно не перепутать угол, опирающийся на диаметр: его вершина — точка B, противоположная концам диаметра A и C.

Типичные ошибки

Первая ошибка — принимать вписанный угол за центральный. Это происходит, когда смотрят только на стороны угла и не отмечают положение вершины; проверь, лежит ли она на окружности или в центре. Вторая ошибка — брать дугу, содержащую вершину угла: точки пересечения сторон задают две дуги, и нужная не включает вершину. Чтобы проверить выбор, проследи по окружности путь между концами сторон.

Третья ошибка — забывать деление на два и приравнивать вписанный угол центральному или мере дуги. Причина часто в том, что все величины связаны с одной дугой; перед вычислением запиши формулу ∠вписанный = ½ меры дуги. Четвёртая ошибка — считать равными любые вписанные углы одной окружности. Равенство гарантировано только для углов, опирающихся на одну и ту же дугу, поэтому сравни концы дуг, а не только окружность.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое окружность, радиус, диаметр и центральный угол, а также уметь находить градусную меру дуги. Эти понятия позволяют понять, какие углы сравниваются и почему мера дуги совпадает с центральным углом. Свойства вписанных углов помогают находить неизвестные углы треугольников и решать задачи на подобие треугольников. Они также пригодятся при изучении вписанных четырёхугольников и геометрических построений.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Стороны вписанного угла пересекают окружность в концах опирающейся на него дуги.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.