Раздел 7. Вписанные и описанные многоугольники

Определения и обозначения

Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Например, если четыре вершины четырёхугольника отмечены на окружности, он вписан в неё. Это определение помогает проверить фигуру: нужно проверить каждую вершину, а не только некоторые из них.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины вписанного многоугольника. Её центр одинаково удалён от всех вершин, потому что все они находятся на окружности. Это название указывает на окружность, окружающую многоугольник и проходящую через его углы.

Описанный многоугольник — многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Касаться означает иметь с окружностью общую точку, но не пересекать её в этой точке. Определение позволяет распознать такой многоугольник по сторонам, даже если его вершины не лежат на окружности.

Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон описанного многоугольника. Её центр находится на одинаковом расстоянии от сторон, а это расстояние равно радиусу. Такое определение нужно, чтобы связывать радиус окружности с размерами многоугольника.

Как это устроено

Для вписанного многоугольника главным условием являются вершины, потому что именно они задают его углы. Окружность проходит через каждую вершину, а стороны соединяют соседние точки окружности. Если хотя бы одна вершина окажется не на окружности, условие определения нарушится, даже если остальные вершины лежат на ней.

Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника. Чтобы найти её, можно провести серединные перпендикуляры к двум сторонам: серединный перпендикуляр делит отрезок пополам под прямым углом. Точка пересечения таких линий равноудалена от концов этих сторон; если многоугольник вписан в окружность, найденная точка будет её центром. Радиусом служит расстояние от центра до любой вершины, и все такие расстояния равны.

Для описанного многоугольника основное условие относится к сторонам: каждая из них должна касаться окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Поэтому при решении задач радиус и касательная сторона образуют прямой угол, а это помогает находить неизвестные длины и углы.

Чтобы одна окружность касалась всех сторон, её центр должен быть равноудалён от каждой из них. Перпендикулярное расстояние от центра до стороны равно радиусу, поэтому у всех сторон это расстояние должно быть одинаковым. Если удаётся найти точку с таким свойством и провести окружность с радиусом, равным расстоянию до стороны, она будет касаться сторон. Так равенство расстояний объясняет, когда окружность можно вписать в многоугольник.

У правильного многоугольника стороны и углы равны, а его симметрия помогает найти общий центр окружностей. Этот центр равноудалён от всех вершин, поэтому через них проходит описанная окружность. Он также равноудалён от всех сторон, поэтому окружность с радиусом, равным этому расстоянию, касается каждой стороны. Значит, у правильного многоугольника есть обе окружности, и их центры совпадают.

Вписанные и описанные многоугольники

Пользуйся таблицей, сначала выясняя, что именно соединено с окружностью: вершины или стороны. Затем выбери соответствующее название многоугольника и окружности. Для правильного многоугольника можно применять оба столбца, потому что у него есть обе окружности.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли четырёхугольник вписанным в окружность, если все его вершины отмечены на окружности. Нужно сопоставить условие с определением: оно говорит не о сторонах, а о вершинах. Проверять углы или длины сторон здесь не требуется.

1. Вспоминаем определение вписанного многоугольника: все его вершины должны лежать на одной окружности.
2. По условию отмечены все четыре вершины, и каждая находится на окружности.
3. Значит, условие выполнено для всех вершин четырёхугольника.

Ответ: да, четырёхугольник вписан в окружность.

Задача 2. Найти радиус вписанной окружности квадрата со стороной 8 см. Окружность касается всех четырёх сторон, а её центр расположен посередине квадрата. Расстояние от центра до стороны равно половине стороны, поскольку ширина квадрата делится центром на две равные части.

1. Обозначим сторону квадрата через a: a = 8 см.
2. Радиус равен расстоянию от центра до стороны, поэтому r = a/2.
3. Подставим длину стороны: r = 8/2 = 4 см.

Ответ: 4 см. Проверка: диаметр окружности равен двум радиусам, то есть 8 см, и совпадает со стороной квадрата.

Задача 3. В правильном треугольнике со стороной 6 см найти радиусы вписанной и описанной окружностей. Проведём высоту: в равнобедренном треугольнике она делит основание пополам, поэтому получаются отрезки по 3 см. Высота правильного треугольника равна 3√3 см; центр окружностей лежит на высоте и делит её в отношении 2:1, считая от вершины.

1. Расстояние от центра до стороны — радиус вписанной окружности: r = h/3 = 3√3/3 = √3 см.
2. Расстояние от центра до вершины — радиус описанной окружности: R = 2h/3 = 2 · 3√3/3 = 2√3 см.
3. Проверим результат: R вдвое больше r, как и должно быть у правильного треугольника.

Ответ: радиус вписанной окружности равен √3 см, описанной — 2√3 см.

Типичные ошибки

Путать вписанный и описанный многоугольники — значит менять местами условие о вершинах и условие о сторонах. Это происходит потому, что в обоих названиях есть слово «вписанный» или «описанный», но одно относится к многоугольнику, другое — к окружности. Проверь себя вопросом: лежат на окружности вершины или её касается каждая сторона?

Считать окружность описанной, если через неё проходят только некоторые вершины, — неверно: определение требует все вершины. Ошибка возникает, когда проверяют фигуру приблизительно и не пересчитывают углы. Чтобы проверить себя, пройди по контуру многоугольника и убедись, что ни одна вершина не осталась вне окружности.

Забывать, что радиус к точке касания перпендикулярен стороне, — значит терять прямой угол, нужный для решения задачи. Часто кажется, что радиус просто «доходит» до стороны, но касание задаёт точное геометрическое условие. Нарисуй радиус к точке касания и отметь прямой угол; если его нет, рассуждение нужно проверить.

Переносить свойства правильных многоугольников на любые фигуры нельзя: не у каждого многоугольника центры окружностей совпадают или вообще существуют обе окружности. Такие свойства применяют только после проверки, что многоугольник правильный, то есть его стороны и углы равны. Перед вычислениями выпиши, какие условия даны, и сопоставь их с нужным свойством.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения окружности, радиуса, касательной и перпендикуляра к прямой: без них не объяснить, что значит касание и почему радиус образует прямой угол со стороной. Свойства равнобедренного и правильного треугольника, а также признаки равенства треугольников помогают находить центры и радиусы. Позже эти знания пригодятся при изучении правильных многоугольников, вычислении площадей и решении других задач на окружности.

Что запомнить

• У вписанного многоугольника все вершины лежат на одной окружности.
• У описанного многоугольника все стороны касаются одной окружности.
• Окружность через вершины многоугольника называется описанной.
• Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника, называется вписанной.
• Радиус к точке касания перпендикулярен касательной стороне.
• У правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.