"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Треугольник может быть вписан в окружность, если все его вершины лежат на ней, или описан около окружности, если она касается всех его сторон. В каждом случае есть особый центр: для описанной окружности его находят по серединным перпендикулярам, а для вписанной — по биссектрисам углов. Эти свойства помогают строить окружности и решать задачи о расстояниях, радиусах и сторонах треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на одной окружности; эту окружность называют описанной около треугольника. Иначе говоря, окружность проходит через три вершины. Такое определение позволяет говорить о радиусе и центре окружности, связанной с треугольником.
Описанный треугольник — треугольник, все стороны которого касаются одной окружности; окружность называют вписанной в треугольник. Касание означает, что окружность и сторона имеют общую точку, а радиус к ней перпендикулярен стороне. Это помогает находить радиус по расстоянию от центра до стороны.
Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. Если обозначить её O, то расстояния от O до вершин равны и являются радиусами окружности. Поэтому для поиска центра удобно использовать свойства точек, равноудалённых от концов отрезка.
Центр вписанной окружности — точка, равноудалённая от всех сторон треугольника. Равные расстояния здесь измеряют перпендикулярами, а не наклонными отрезками. Благодаря этому центр можно найти по биссектрисам углов и затем построить окружность.
Представим окружность, проходящую через вершины треугольника, и назовём её центр O. Радиусы к концам любой стороны равны, ведь оба отрезка соединяют центр окружности с её точками. Значит, O равноудалена от концов этой стороны. По свойству серединного перпендикуляра такая точка лежит на нём, поэтому центр должен находиться на серединных перпендикулярах к сторонам.
Достаточно построить серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника. Они не параллельны, поэтому пересекутся в точке O; она равноудалена от концов обеих выбранных сторон. У этих сторон есть общая вершина, и равенство расстояний показывает, что O равноудалена от всех трёх вершин. Поэтому O лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне: все три перпендикуляра проходят через одну точку.
Чтобы понять, почему биссектриса связана с расстоянием до сторон, возьмём точку на ней и опустим из неё перпендикуляры на обе стороны угла. Получатся прямоугольные треугольники с общей гипотенузой, а углы при вершине равны, потому что точка лежит на биссектрисе. Эти треугольники равны, поэтому их перпендикулярные стороны, то есть расстояния до сторон угла, одинаковы. Так биссектриса задаёт все точки, равноудалённые от сторон угла.
Пересечение биссектрис двух углов треугольника равноудалено от сторон каждого из этих углов. Две стороны уже дают все три стороны треугольника, поэтому найденная точка равноудалена от всех трёх. Если опустить из неё перпендикуляр на сторону и взять его длину за радиус, окружность коснётся этой стороны; равные расстояния до других сторон обеспечат касание и их. Значит, точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности.
Расположение центра описанной окружности зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются внутри, а в тупоугольном — снаружи; это связано с тем, где оказываются середины сторон и направления перпендикуляров. В прямоугольном треугольнике центр находится посередине гипотенузы, то есть напротив прямого угла. Центр вписанной окружности всегда внутри: точка пересечения внутренних биссектрис находится внутри треугольника.
| Характеристика | Описанная окружность | Вписанная окружность |
|---|---|---|
| Что касается окружности | Проходит через вершины | Касается сторон |
| Геометрическое место центра | Серединные перпендикуляры к сторонам | Биссектрисы углов |
| Как найти центр | Пересечь два серединных перпендикуляра | Пересечь две биссектрисы |
| Расположение центра | Внутри или вне; в прямоугольном треугольнике — на гипотенузе | Внутри треугольника |
| Каким отрезком измеряется радиус | От центра до вершины | Перпендикуляром от центра до стороны |
Сначала определите, какая окружность нужна: проходящая через вершины или касающаяся сторон. Затем выберите соответствующее построение центра — по серединным перпендикулярам или по биссектрисам. В последней строке таблицы указано, какой отрезок нужно считать радиусом.
Условие. В треугольнике даны две стороны. Постройте центр описанной окружности. Искомая точка должна быть равноудалена от всех вершин, поэтому нужно воспользоваться свойством серединного перпендикуляра. Выберем две данные стороны, имеющие общую вершину.
Постройте середину первой стороны и проведите через неё перпендикуляр к стороне. Эта прямая является серединным перпендикуляром, поэтому любая её точка равноудалена от концов выбранной стороны. Повторите построение для второй стороны.
Обозначьте точку пересечения перпендикуляров буквой O. Она равноудалена от концов обеих сторон, а общая вершина этих сторон входит в обе пары концов. Следовательно, O равноудалена от всех трёх вершин треугольника.
Ответ. Точка пересечения построенных серединных перпендикуляров — центр описанной окружности. Проверить построение можно циркулем: расстояния от O до всех трёх вершин должны совпасть. Если нужно начертить окружность, возьмите это расстояние за радиус.
Условие. В треугольнике даны два угла. Постройте центр вписанной окружности и её радиус. Центр должен быть равноудалён от сторон, а такие точки угла лежат на его биссектрисе. Поэтому начнём с построения биссектрис данных углов.
Проведите биссектрисы двух углов и отметьте точку их пересечения I. По свойству биссектрисы точка I равноудалена от сторон каждого из этих углов. Значит, расстояния от I до всех сторон треугольника одинаковы.
Из I опустите перпендикуляр на любую сторону и обозначьте его основание T. Отрезок IT — кратчайшее расстояние от центра до стороны, поэтому он задаёт радиус. С центром I и радиусом IT можно провести вписанную окружность.
Ответ. Точка пересечения биссектрис — центр окружности, а длина перпендикуляра от неё до стороны — радиус. Выбор стороны не меняет длину радиуса, потому что расстояния от I до всех трёх сторон равны. Проверьте, что окружность касается каждой стороны, а не пересекает её в двух точках.
Условие. В треугольнике ABC угол A равен 90°, катеты имеют длины 6 и 8. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей. Обозначим гипотенузу через c, радиус описанной окружности через R, а радиус вписанной — через r. Сначала найдём недостающую сторону.
По теореме Пифагора c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, поэтому c = 10. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы. От него до любой вершины расстояние равно половине гипотенузы, значит, R = 10/2 = 5.
Для вписанной окружности используем формулу r = (a + b − c)/2, где a и b — катеты, c — гипотенуза. Подставляем значения: r = (6 + 8 − 10)/2 = 4/2 = 2. Полученное значение положительно и меньше каждого катета, что согласуется с расположением окружности внутри треугольника.
Ответ. Радиус описанной окружности равен 5, радиус вписанной — 2. Для проверки R сравнивают с половиной гипотенузы, а r — с половиной разности периметра и гипотенузы. Не следует путать эти радиусы: один измеряется до вершины, другой — перпендикулярно до стороны.
Считать, что центр описанной окружности всегда внутри треугольника, — ошибка: у тупоугольного треугольника он снаружи. Так думают, потому что центр часто рисуют внутри остроугольного треугольника. Проверьте вид треугольника и постройте серединные перпендикуляры: их пересечение и покажет нужное положение.
Серединный перпендикуляр нельзя заменять стороной или медианой. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а серединный перпендикуляр проходит через середину и образует со стороной прямой угол. Их путают из-за общей точки — середины стороны; проверка проста: убедитесь, что построенная прямая перпендикулярна стороне.
Биссектриса — не обязательно медиана, поэтому центр вписанной окружности не следует искать на медианах. Их иногда смешивают, потому что обе линии выходят из вершины треугольника. Проверьте направление: биссектриса делит угол пополам, а медиана приходит в середину противоположной стороны.
Наклонный отрезок от центра к стороне не является радиусом вписанной окружности. Ошибку допускают, если считают расстоянием до прямой любой отрезок, соединяющий её с точкой. Расстояние измеряется по перпендикуляру: постройте прямой угол в точке касания и берите именно этот отрезок.
Для построения центра описанной окружности нужны свойства серединного перпендикуляра: точка на нём равноудалена от концов отрезка. Для центра вписанной окружности используется свойство биссектрисы, а для радиуса — понятие перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. Поэтому перед решением полезно вспомнить эти определения и правила построения.
Построения пригодятся в задачах на геометрические построения и свойства треугольников. Найденные центры и радиусы помогают исследовать размеры окружности и её положение относительно сторон и вершин. В задачах на площади радиус вписанной окружности связывает окружность с площадью и сторонами треугольника.
Чем вписанный треугольник отличается от описанного?
У вписанного треугольника все вершины лежат на окружности, поэтому окружность описана около него. У описанного треугольника все стороны касаются окружности, которая вписана в него.
Почему серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке?
Точка на серединном перпендикуляре к отрезку равноудалена от его концов. Пересечение перпендикуляров к двум сторонам треугольника равноудалено от всех трёх вершин, поэтому лежит и на третьем серединном перпендикуляре.
Почему биссектрисы углов пересекаются в центре вписанной окружности?
Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Пересечение двух биссектрис равноудалено от всех трёх сторон треугольника, поэтому из этой точки можно провести окружность, касающуюся каждой стороны.
Может ли центр описанной окружности находиться вне треугольника?
Да. У тупоугольного треугольника он находится вне треугольника, а у остроугольного — внутри. У прямоугольного треугольника центр лежит на середине гипотенузы.
Как найти радиус вписанной окружности?
Из центра окружности опускают перпендикуляр на любую сторону треугольника. Расстояние от центра до точки касания и есть радиус; его можно измерить или вычислить по другим данным задачи.
18.2. Вписанные и описанные треугольники
