"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Четырёхугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности, и описанным, если все его стороны касаются окружности. По этим признакам можно распознавать фигуры и находить неизвестные углы или стороны. У вписанного четырёхугольника сумма каждой пары противоположных углов равна 180°, а у описанного равны суммы противоположных сторон. Главное — не перепутать, к какому виду относится фигура и какие элементы сравнивают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около четырёхугольника. Например, если точки A, B, C и D лежат на окружности, ABCD вписан в неё. Определение помогает понять, какие фигуры можно исследовать с помощью свойств окружности.
Описанный четырёхугольник — четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Эту окружность называют вписанной в четырёхугольник. Касательная касается окружности в одной точке, не пересекая её. Так можно отличить четырёхугольник, построенный вокруг окружности, от фигуры, вершины которой лежат на окружности.
Противоположные углы — углы четырёхугольника, у которых нет общей стороны: например, углы A и C в ABCD. Углы A и B, напротив, соседние, потому что имеют общую сторону AB. Это различие нужно, чтобы правильно применять свойство вписанного четырёхугольника: оно относится именно к противоположным углам.
Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, у которых нет общей вершины: например, AB и CD. Стороны AB и BC соседние, так как встречаются в точке B. У описанного четырёхугольника сравнивают суммы двух пар противоположных сторон, поэтому важно не сложить случайно стороны, расположенные рядом.
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают её. Его величина равна половине дуги, на которую он опирается. У противоположных углов вписанного четырёхугольника дуги, на которые они опираются, вместе составляют всю окружность, то есть 360°. Поэтому углы в сумме дают половину от 360° — 180°.
Это свойство можно использовать и в обратную сторону. Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник и A + C = 180°. Проведём окружность через три его вершины; для выбранных трёх точек такая окружность существует. Из условия следует, что угол D равен углу, который опирается на ту же хорду AB с другой стороны. Значит, вершина D также лежит на этой окружности, и четырёхугольник вписанный.
У описанного четырёхугольника от одной вершины к окружности проведены две касательные. Их отрезки до точек касания равны. Если обозначить точки касания на сторонах, каждая сторона раскладывается на два таких отрезка. При сложении противоположных сторон получаются одинаковые отрезки от каждой из четырёх вершин, поэтому суммы равны: AB + CD = BC + DA.
Равенство сумм противоположных сторон помогает проверить, можно ли описать около выпуклого четырёхугольника окружность. Если AB + CD = BC + DA, выполняется признак описанного четырёхугольника. Сначала убедись, что фигура выпуклая и речь идёт о её сторонах, а затем сравни суммы. Одно только случайное равенство для произвольной невыпуклой фигуры применять как признак нельзя.
Оба свойства превращают геометрическую задачу в короткое уравнение. Для вписанной фигуры связывают пару противоположных углов равенством их суммы 180°, а для описанной — приравнивают суммы противоположных сторон. Если один угол или одна сторона неизвестны, подставляют известные величины и решают уравнение. Перед вычислением проверь, что используешь свойство именно того вида четырёхугольника, который дан или требуется установить.
| Что сравниваем | Вписанный четырёхугольник | Описанный четырёхугольник |
|---|---|---|
| Расположение вершин и сторон относительно окружности | Все вершины лежат на окружности; стороны являются хордами. | Все стороны касаются окружности. |
| Сумма противоположных углов | Каждая пара даёт 180°. | Общего правила о сумме противоположных углов нет. |
| Сумма противоположных сторон | Общего правила о равенстве сумм нет. | Суммы противоположных сторон равны. |
| Признак по равенству | Если пара противоположных углов в сумме даёт 180°, выпуклый четырёхугольник вписанный. | Равенство сумм противоположных сторон служит признаком при условии выпуклости. |
Сначала найди в условии подсказку: вершины лежат на окружности или стороны касаются её. Затем используй нужную строку таблицы: для вписанной фигуры проверяй углы, для описанной — стороны. Это помогает не переносить свойство одного вида четырёхугольника на другой.
Задача 1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 72° и 108°. Можно ли описать около него окружность? Нужно проверить признак вписанного четырёхугольника: он требует, чтобы сумма противоположных углов была равна 180°.
Ответ: да, окружность можно описать около ABCD.
Задача 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол A равен 67°. Найти угол C. Так как A и C противоположные, их сумма составляет 180°. Неизвестный угол найдём вычитанием из 180° известной величины.
Ответ: угол C равен 113°.
Задача 3. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан около окружности. Известно, что AB = 5, BC = 8, CD = 7, а DA = x. Найти x. Для описанного четырёхугольника равны суммы противоположных сторон, значит, можно составить уравнение с неизвестной стороной.
Ответ: DA = 4.
Первая ошибка — считать, что сумма углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Так можно спутать сумму одной пары противоположных углов с суммой всех четырёх углов. Проверь себя: у любого четырёхугольника сумма всех углов равна 360°, а у вписанного каждая пара противоположных даёт 180°.
Вторая ошибка — перепутать соседние углы с противоположными. У соседних есть общая сторона, а противоположные общей стороны не имеют; свойство вписанного четырёхугольника относится ко второй паре. Перед вычислением назови углы и проверь, например, что в ABCD противоположны A и C, а также B и D.
Третья ошибка — использовать равенство углов для описанного четырёхугольника или равенство сумм сторон для вписанного. Их допускают, когда не смотрят, где расположена окружность относительно фигуры. Сначала сверь определение: вершины на окружности означают вписанный четырёхугольник, касание всех сторон — описанный.
Четвёртая ошибка — применять равенство сумм противоположных сторон, не проверив выпуклость и условия признака. Из-за этого можно сделать вывод о фигуре, к которой признак не относится. Перед выводом проверь, что перед тобой выпуклый четырёхугольник и равны именно суммы противоположных, а не соседних сторон.
Для этой темы пригодятся определения окружности, радиуса, хорды, вписанного угла и касательной. Особенно важно свойство касательных: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны; оно объясняет равенство сумм сторон описанного четырёхугольника. Сами свойства четырёхугольников помогают в задачах на окружности, доказательствах о многоугольниках и вычислении неизвестных углов и сторон. Поэтому полезно сначала определить, что именно известно о фигуре относительно окружности.
Как понять, вписан ли четырёхугольник в окружность?
Он вписан, если все четыре его вершины лежат на одной окружности. Для выпуклого четырёхугольника это можно проверить по углам: сумма пары противоположных углов должна быть 180°.
Почему противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°?
Каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Для противоположных углов соответствующие дуги вместе составляют всю окружность, поэтому половины их мер в сумме дают 180°.
Можно ли по одной паре углов доказать, что четырёхугольник вписанный?
Да, если четырёхугольник выпуклый и сумма одной пары его противоположных углов равна 180°. По этому признаку можно заключить, что все вершины лежат на одной окружности.
Чем вписанный четырёхугольник отличается от описанного?
У вписанного четырёхугольника на окружности лежат вершины, а его стороны являются хордами. У описанного четырёхугольника окружность касается всех сторон, а вершины обычно находятся вне окружности.
Как найти неизвестную сторону описанного четырёхугольника?
Сложи длины одной пары противоположных сторон и приравняй их сумме длин другой пары. Подставь известные стороны, составь уравнение и найди неизвестную длину.
18.3. Вписанные и описанные четырёхугольники
