19.1. Вписанные и описанные окружности для правильных многоугольников

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Благодаря симметрии его можно разделить на равные треугольники с общей вершиной в центре. Поэтому для правильного многоугольника существуют окружности, связанные сразу со всеми его сторонами и вершинами.

Вписанная окружность — окружность, которая касается каждой стороны многоугольника. Её радиус обозначают r: он показывает расстояние от центра до любой стороны. Зная r, можно, например, находить высоту треугольника, образованного центром и стороной.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Её радиус обозначают R; он равен расстоянию от центра до любой вершины. Описанная окружность помогает связать сторону многоугольника с центральным углом.

Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех сторон. От неё проводят радиусы R к вершинам и перпендикуляры длины r к сторонам. Одна и та же точка становится центром обеих окружностей.

Как это устроено

У правильного многоугольника все стороны и углы одинаковы, поэтому поворот вокруг его центра на равную долю полного оборота переводит его в себя. Центр такого поворота равноудалён от вершин: иначе после поворота расстояния до соответствующих вершин изменились бы. Он также равноудалён от сторон, поскольку стороны переходят друг в друга при тех же поворотах. Значит, вокруг этой точки можно провести окружность через все вершины и окружность, касающуюся всех сторон.

Соединим центр с вершинами. Получится n равных равнобедренных треугольников: их боковые стороны — радиусы R, а основания — стороны многоугольника. Все углы при центре равны, потому что треугольники равны, а вместе эти углы составляют полный оборот 360°. Поэтому центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n. Например, у шестиугольника он равен 60°.

Радиус вписанной окружности проводят к точке, где она касается стороны. Прямая, касающаяся окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: иначе расстояние от центра до этой прямой было бы меньше радиуса. В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами R высота из вершины одновременно является медианой. Поэтому перпендикуляр от центра делит сторону пополам.

Если провести такую высоту в одном из равнобедренных треугольников, он разделится на два равных прямоугольных. В каждом гипотенуза равна R, один катет — r, другой — половина стороны a, а угол при центре равен половине центрального угла. Так можно находить неизвестные величины по свойствам прямоугольного треугольника. В частности, R² = r² + (a/2)².

Радиус R больше r: в прямоугольном треугольнике R — гипотенуза, а r — один из катетов. Гипотенуза длиннее каждого катета. При этом половина стороны a/2 — второй катет, поэтому сторона, оба радиуса и половина центрального угла связаны одним и тем же прямоугольным треугольником.

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника

В таблице апофемой названа высота от центра к стороне, то есть радиус вписанной окружности. Сначала определите, связана ли задача со сторонами или вершинами: это подскажет, нужен r или R. Затем используйте прямоугольный треугольник с катетами r и половиной стороны и гипотенузой R.

Разбор задач

Правильный треугольник со стороной 6 см

Найдём радиусы вписанной и описанной окружностей. В равностороннем треугольнике центр лежит на высоте, а высота делит сторону пополам. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 6 см и катетом 3 см.

1. Высота равна √(6² − 3²) = √27 = 3√3 см.
2. Центр делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому R = ⅔ · 3√3 = 2√3 см, а r = ⅓ · 3√3 = √3 см.
3. Проверим, что R больше r: 2√3 см > √3 см.

Ответ: r = √3 см, R = 2√3 см. Разбиение на прямоугольные треугольники позволяет найти высоту, а её части дают оба радиуса.

Правильный шестиугольник со стороной 8 см

У правильного шестиугольника центральный угол равен 360°/6 = 60°. Соединим центр с концами одной стороны: получившийся треугольник равнобедренный, а его углы при основании тоже равны 60°. Значит, треугольник равносторонний, и его боковые стороны, то есть радиусы описанной окружности, равны стороне.

1. Получаем R = 8 см.
2. Высота к стороне делит её пополам, поэтому половина стороны равна 4 см. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 8 см, один катет 4 см.
3. По теореме Пифагора r² = 8² − 4² = 48, значит, r = 4√3 см.

Ответ: R = 8 см, r = 4√3 см. Здесь особенность шестиугольника позволила сразу определить описанный радиус.

Правильный восьмиугольник: R = 10 см

Нужно найти сторону и вписанный радиус. Центральный угол восьмиугольника равен 360°/8 = 45°, поэтому в прямоугольном треугольнике его половина составляет 22,5°. Гипотенуза этого треугольника — R, катеты — половина стороны и r.

1. Половина стороны равна 10 sin 22,5° = 5√(2 − √2) см. Значит, сторона равна 10√(2 − √2) см.
2. Апофема равна 10 cos 22,5° = 5√(2 + √2) см, следовательно, r = 5√(2 + √2) см.
3. Проверяем смысл результата: R = 10 см больше найденного r, а сторона равна удвоенной половине стороны.

Ответ: сторона равна 10√(2 − √2) см, радиус вписанной окружности — 5√(2 + √2) см. При вычислениях важно брать половину центрального угла, поскольку рассматривается только половина равнобедренного треугольника.

Типичные ошибки

• Путать окружности. Вписанную принимают за описанную, потому что обе связаны с одним многоугольником. Проверьте условие: вписанная касается сторон, а описанная проходит через вершины.
• Выбирать произвольный центр. Тогда расстояния до сторон или вершин могут оказаться разными. Проверьте, что точка равноудалена и от всех вершин, и от всех сторон.
• Брать полный центральный угол. При рассмотрении половины равнобедренного треугольника угол у центра тоже делится пополам. Сначала разделите 360° на число сторон, затем полученное значение разделите на 2.
• Путать R и r или считать их равными. Обозначения относятся к разным окружностям, а в прямоугольном треугольнике R — гипотенуза. Проверьте результат: радиус описанной окружности должен быть больше радиуса вписанной.

Связь с другими темами

Для изучения темы пригодятся свойства правильных многоугольников, равнобедренных и прямоугольных треугольников, а также правило о перпендикуляре к касательной. Новые соотношения помогают вычислять площадь правильного многоугольника и находить его элементы. Они также применяются в задачах на окружности, центральные углы, построение правильных многоугольников и приближённое вычисление длины окружности.

Что запомнить

• У каждого правильного многоугольника есть вписанная и описанная окружности.
• Центры обеих окружностей совпадают с центром правильного многоугольника.
• Вписанная окружность касается каждой стороны.
• Описанная окружность проходит через каждую вершину.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до стороны.
• Радиус описанной окружности больше радиуса вписанной окружности.