19.2. Построение правильных многоугольников

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Чтобы убедиться, что фигура правильная, нужно проверить оба условия: равенства только сторон или только углов недостаточно. Это определение помогает отличать правильные фигуры от просто похожих на них.

Описанная окружность правильного многоугольника проходит через все его вершины. Её центр находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины, а это расстояние называется радиусом. Такая окружность удобна для построения: на ней можно отметить вершины и проверить, что они удалены от центра одинаково.

Центральный угол правильного многоугольника — угол с вершиной в центре описанной окружности, стороны которого проходят через две соседние вершины. Он соответствует одной стороне фигуры и одной дуге между соседними вершинами. По этому углу удобно определять, насколько нужно разнести вершины вокруг центра.

Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Правильный многоугольник можно строить как вписанный: сначала задают окружность, затем отмечают на ней вершины на равных расстояниях по дуге. Но сама вписанность ещё не означает, что фигура правильная.

Как это устроено

Построение удобно начинать с описанной окружности, потому что она сразу задаёт место для всех вершин. Проведённые из её центра радиусы имеют одинаковую длину, следовательно, каждая вершина окажется на одинаковом расстоянии от центра. Остаётся равномерно распределить точки по окружности и соединить их. Так легче сохранить симметрию, чем строить многоугольник, откладывая стороны отдельно.

У правильного n-угольника все дуги между соседними вершинами равны, поэтому равны и соответствующие им центральные углы. Вокруг центра эти углы составляют полный оборот, то есть 360°. Если разделить 360° на число сторон n, получится величина одного угла: 360° : n. Например, для шестиугольника это 60°, а для квадрата — 90°.

Правильный шестиугольник можно построить циркулем и линейкой без измерения углов. Откройте циркуль на радиус данной окружности и, не меняя раствора, последовательно отмечайте на ней шесть точек. Такой шаг подходит именно шестиугольнику: каждая хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу. Соедините соседние точки по порядку — получится замкнутая граница фигуры.

Треугольник и квадрат строят, разделяя окружность на равные дуги. Для треугольника нужны три дуги по 120°, а для квадрата — четыре дуги по 90°; точки их концов становятся вершинами. Квадрат особенно удобно получить, проведя два перпендикулярных диаметра: концы диаметров делят окружность на четыре равные части. При построении треугольника также можно использовать деление угла или дуги так, чтобы центральные углы оказались одинаковыми.

Чтобы получить правильный восьмиугольник из квадрата, надо добавить вершину посередине каждой дуги между соседними вершинами квадрата. Для этого соответствующий центральный угол 90° делят пополам, получая два угла по 45°, и так же делят дугу. Новые точки вместе с вершинами квадрата дают восемь равномерно расположенных точек. Если соединить их по порядку, все стороны и углы получившейся фигуры будут равны.

Построение правильных многоугольников на описанной окружности

Сначала найдите в таблице число сторон и соответствующий центральный угол: это показывает, на какие равные части делится окружность. Затем используйте указанный приём построения. Не переносите способ для одного многоугольника на другой без проверки: например, откладывание радиуса шесть раз подходит для шестиугольника, но не для квадрата или восьмиугольника.

Разбор задач

Задача 1. Построить правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность. Здесь известна сама окружность, поэтому нужно равномерно отметить на ней шесть вершин. Удобно использовать радиус как длину шага: для правильного шестиугольника соседние вершины находятся именно на таком расстоянии.

1. Поставьте иглу циркуля в центр данной окружности и возьмите раствор, равный её радиусу.
2. Выберите на окружности первую точку. Не меняя раствор циркуля, отметьте от неё следующую точку на окружности, затем повторите действие ещё четыре раза.
3. Проверьте, что получено шесть точек, и соедините каждую с ближайшей соседней точкой по порядку.

Каждая сторона получилась равной радиусу, а равные шаги по окружности задают одинаковые центральные углы по 60°. Поэтому все стороны и углы шестиугольника равны. Ответ: построен правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность.

Задача 2. Построить квадрат, вписанный в данную окружность, и обосновать, что он правильный. Квадрату соответствуют четыре одинаковые дуги, поэтому его вершины должны делить окружность на четыре равные части. Провести их можно с помощью перпендикулярных диаметров.

1. Проведите через центр окружности первый диаметр.
2. В том же центре постройте перпендикуляр к этому диаметру и проведите второй диаметр.
3. Отметьте четыре конца диаметров и соедините соседние точки по порядку.

Диаметры делят окружность на четыре равные дуги, поэтому соседние вершины расположены симметрично. Равным дугам соответствуют равные хорды, а каждая сторона квадрата является такой хордой. Значит, все стороны равны; равные дуги также задают одинаковые углы фигуры. Ответ: получен вписанный квадрат, который является правильным.

Задача 3. Построить правильный восьмиугольник, вписанный в данную окружность, используя построенный квадрат. Квадрат уже даёт четыре вершины и делит окружность на четыре одинаковые дуги. Чтобы получить восемь равных частей, каждую из этих дуг нужно разделить пополам.

1. Постройте в данной окружности квадрат и отметьте его четыре вершины.
2. Разделите пополам каждую дугу между соседними вершинами квадрата, например, построив биссектрису соответствующего центрального угла.
3. Отметьте четыре новые точки на окружности и соедините все восемь точек по порядку.

Каждая исходная дуга соответствовала центральному углу 90°, а после деления пополам получается угол 45°. Значит, все восемь промежутков одинаковы, поэтому равны соответствующие стороны и углы. Ответ: построен правильный восьмиугольник.

Типичные ошибки

Некоторые считают любой многоугольник с вершинами на окружности правильным. Так происходит потому, что окружность создаёт впечатление одинакового расстояния от центра, но вершины могут быть расположены на ней неравномерно. Проверьте, равны ли дуги или центральные углы между соседними вершинами, а затем убедитесь в равенстве сторон и углов.

Другая ошибка — откладывать на окружности произвольную длину или считать, что длина радиуса подходит для любого числа сторон. Радиус является шагом для вписанного правильного шестиугольника, поскольку его центральный угол равен 60°. Перед построением выясните, какой угол должен быть у выбранного многоугольника, и не переносите приём с шестиугольника на другую фигуру автоматически.

Центральный угол иногда путают с внутренним углом многоугольника. Центральный угол имеет вершину в центре окружности и опирается на дугу между соседними вершинами, а внутренний расположен внутри фигуры. Чтобы не перепутать их, сначала отметьте центр и проведите радиусы к двум соседним вершинам.

Если соединять точки не по порядку или пропускать их, может получиться звёздчатая фигура или многоугольник с другой границей. Так бывает, когда выбирают не ближайшую следующую вершину, а более далёкую. Перед проведением каждой стороны проверьте, что вы переходите к соседней отметке и в конце возвращаетесь к начальной точке.

Связь с другими темами

Для построений нужны циркуль и линейка, умение проводить окружность и её радиус, строить перпендикуляр и делить угол пополам. Обоснование опирается на свойства равных хорд и дуг: равным дугам соответствуют равные хорды. Ещё используется факт, что углы вокруг точки в сумме дают 360°. Эти знания пригодятся дальше при изучении периметров и площадей правильных многоугольников и решении задач на окружность.

Что запомнить

• У правильного многоугольника равны все стороны и все углы.
• Вершины правильного многоугольника лежат на описанной окружности.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360° : n.
• Сумма центральных углов вокруг центра равна 360°.
• Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.
• При делении дуги пополам центральный угол между соседними вершинами тоже делится пополам.