"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Правильный многоугольник — фигура, у которой все стороны и все углы равны. Если известно число сторон, её можно разбить на одинаковые треугольники и связать длину стороны, периметр и площадь с апофемой — расстоянием от центра до стороны. Главные формулы: P = na и S = Pr/2. Они помогают находить периметр и площадь, даже если дана не вся фигура, а только несколько её величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Число его сторон обозначают буквой n. Зная n, можно определить, на сколько одинаковых частей разделится фигура при соединении её центра с вершинами.
Сторона правильного многоугольника — длина любой из его равных сторон, её обозначают a. Одной длины достаточно, чтобы знать длины всех сторон. Вместе с числом сторон она позволяет вычислить периметр.
Периметр правильного многоугольника — сумма длин всех его сторон, его обозначают P. Он показывает общую длину границы фигуры. Для правильного многоугольника периметр можно найти, умножив длину одной стороны на число сторон.
Апофема — перпендикулярное расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны; его обозначают r. Это радиус вписанной в многоугольник окружности. Апофема служит высотой треугольников, на которые делится многоугольник, поэтому с её помощью удобно находить площадь.
У правильного многоугольника есть центр — точка, одинаково удалённая от всех вершин. Если провести из неё отрезки ко всем вершинам, получится n треугольников. Они равны: их боковые стороны являются радиусами описанной окружности, а основания — равными сторонами многоугольника. Полный угол вокруг центра равен 360°, поэтому угол каждого треугольника равен 360°/n.
Проведём из центра перпендикуляр к одной стороне. Он попадёт в её середину: в равнобедренном треугольнике высота к основанию одновременно является медианой. Получится прямоугольный треугольник с катетами r и a/2. Угол при центре равен половине центрального угла, то есть 180°/n; по определению тангенса (отношению противолежащего катета к прилежащему) tg(180°/n) = (a/2)/r. Отсюда a = 2r·tg(180°/n).
Периметр — это сумма длин всех сторон. Так как у правильного многоугольника n сторон и каждая имеет длину a, сумма состоит из n одинаковых слагаемых: P = a + a + … + a = na. Эта формула работает для любого правильного многоугольника, если известно число его сторон и длина одной стороны.
Отрезки от центра к вершинам разбивают фигуру на треугольники, основания которых составляют все стороны многоугольника. Высота каждого треугольника равна апофеме r, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Складывая площади, получаем половину произведения суммы оснований на r. Сумма оснований — периметр P, поэтому S = Pr/2.
Если известны только сторона и число сторон, апофему можно выразить из равенства a = 2r·tg(180°/n): r = a/(2·tg(180°/n)). Подстановка в S = Pr/2 и использование P = na дают S = na²/(4·tg(180°/n)). Для отдельных фигур эту формулу можно упростить: например, правильный шестиугольник делится на шесть равносторонних треугольников, а площадь каждого вычисляется по известной формуле площади треугольника.
| Величина | Обозначение | Основная формула | Что нужно знать для вычисления |
|---|---|---|---|
| Число сторон | n | n — количество сторон | Число сторон фигуры |
| Сторона | a | a = P/n | Периметр P и число сторон n |
| Периметр | P | P = na | Сторону a и число сторон n |
| Апофема | r | r = a/(2·tg(180°/n)) | Сторону a и число сторон n |
| Площадь через периметр и апофему | S | S = Pr/2 | Периметр P и апофему r |
| Площадь через сторону и число сторон | S | S = na²/(4·tg(180°/n)) | Сторону a и число сторон n |
| Связь стороны и апофемы | a, r | a = 2r·tg(180°/n) | Апофему r и число сторон n |
Сначала определи, какие величины даны в условии, и выбери строку с подходящей формулой. Если нужной величины не хватает, найди её по другой формуле, например периметр по стороне. Следи, чтобы все длины были выражены в одинаковых единицах.
Найти периметр правильного шестиугольника со стороной 7 см. Периметр зависит от количества сторон и длины каждой из них. У шестиугольника шесть равных сторон, поэтому используем P = na.
Ответ: 42 см.
Найти площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см, разбив его на равносторонние треугольники. Соединим центр с вершинами: получится шесть треугольников. Центральный угол равен 360°/6 = 60°, а боковые стороны каждого треугольника равны стороне шестиугольника. Значит, каждый треугольник равносторонний со стороной 6 см.
Ответ: 54√3 см², или примерно 93,5 см².
Периметр правильного восьмиугольника равен 48 см; требуется найти сторону, а затем площадь по апофеме. В условии не указана численная длина апофемы, поэтому площадь можно выразить через r; для численного ответа нужно знать её значение. Сначала найдём сторону, а затем воспользуемся формулой площади.
Ответ: сторона равна 6 см; площадь равна 24r см². Например, если апофема равна 7,2 см, площадь составит 172,8 см².
Число сторон n путают с величиной внутреннего или центрального угла. Ошибка возникает потому, что в задачах одновременно встречаются и количество сторон, и углы, но это разные данные. Проверь обозначения: n — целое число сторон, а центральный угол равен 360°/n.
При вычислении периметра иногда записывают только длину стороны. Так происходит, если забыть, что периметр включает все стороны фигуры. Проверь ответ формулой P = na: он должен быть в n раз больше a.
В формуле S = Pr/2 вместо апофемы подставляют радиус описанной окружности. Эти отрезки легко спутать, потому что оба начинаются в центре, но радиус идёт к вершине, а апофема — к стороне и перпендикулярна ей. Проверь чертёж или условие: для площади нужна именно высота треугольника, то есть апофема.
В формуле стороны используют тангенс угла 180°/n, но выбирают неверный режим калькулятора. Ошибка возникает, если угол дан в градусах, а калькулятор считает в радианах, или наоборот. Перед вычислением проверь режим: для 180°/n выбери градусы, а для π/n — радианы.
Для этой темы нужны свойства правильного многоугольника, формулы периметра и площади треугольника, а также понятия центра и радиуса окружности. Связь стороны с апофемой получается из прямоугольного треугольника и определения тангенса. Поэтому полезно уметь выделять прямоугольные треугольники в геометрической фигуре.
Формулы пригодятся при изучении окружности, вписанных и описанных многоугольников, площадей фигур и задач на симметрию. Разбиение сложной фигуры на равные треугольники помогает увидеть её устройство и найти неизвестные элементы.
Чем апофема отличается от радиуса описанной окружности?
Апофема — это расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны, проведённое перпендикулярно к ней. Радиус описанной окружности соединяет центр с вершиной многоугольника. Эти отрезки имеют разные концы и обычно разную длину.
Почему площадь правильного многоугольника можно считать через половину произведения периметра на апофему?
Если соединить центр со всеми вершинами, многоугольник разделится на треугольники. Высота каждого такого треугольника равна апофеме, а сумма их оснований равна периметру. Поэтому сумма площадей равна ½Pr.
Как найти сторону правильного многоугольника по его периметру?
Периметр равен произведению числа сторон на длину одной стороны: P = na. Значит, сторону находят делением периметра на число сторон: a = P/n.
Какую формулу площади выбрать, если известны только сторона и число сторон?
Можно использовать S = na²/(4·tg(180°/n)). Здесь n — число сторон, a — длина стороны. Убедись, что калькулятор вычисляет тангенс угла в градусах.
Почему правильный шестиугольник удобно разбивать на шесть равносторонних треугольников?
У правильного шестиугольника центральный угол равен 360°/6 = 60°. Два отрезка от центра к соседним вершинам равны сторонам шестиугольника как радиусы описанной окружности, поэтому треугольник со стороной многоугольника имеет три равные стороны.
19.3. Формулы для вычисления стороны, периметра и площади правильного многоугольника
