119. Вписанные и описанные четырёхугольники

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Выпуклый значит, что его углы не «вдавлены» внутрь, а диагонали проходят внутри фигуры. Окружность при этом называют описанной около четырёхугольника. Такое определение помогает сразу понять, какие точки должны лежать на окружности: именно вершины.

Описанный четырёхугольник — выпуклый четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Окружность называют вписанной в четырёхугольник. Касаться означает иметь с прямой стороны одну общую точку. Это определение удобно, когда в задаче даны длины сторон или свойства касательных.

Описанная окружность четырёхугольника — окружность, проходящая через все его вершины. Её центр одинаково удалён от каждой вершины, потому что все они лежат на окружности. Такое понятие позволяет применять к четырёхугольнику правила об окружности, дугах и вписанных углах. Не следует путать эту окружность с той, которая касается сторон.

Вписанная окружность четырёхугольника — окружность, касающаяся всех его сторон. Расстояние от её центра до каждой стороны равно радиусу, проведённому к точке касания. Благодаря этому можно использовать свойства касательных и сравнивать отрезки на сторонах. Термины «вписанная» и «описанная» относятся к разным объектам: окружность касается сторон или проходит через вершины.

Как это устроено

Если четырёхугольник вписан в окружность, его вершины являются точками этой окружности. Поэтому каждая сторона — хорда, то есть отрезок, соединяющий две точки окружности. Угол четырёхугольника образован двумя хордами и потому является вписанным углом. Он опирается на дугу, которая находится напротив угла и не содержит его вершину.

Противоположные углы вписанного четырёхугольника опираются на две дуги, вместе составляющие всю окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Значит, сумма противоположных углов равна половине суммы дуг, то есть 360° : 2 = 180°. Например, если один из таких углов равен 115°, другой равен 65°.

Верно и обратное утверждение: если у выпуклого четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, его можно вписать в окружность. Чтобы увидеть причину, проведём через две вершины окружность и рассмотрим углы, опирающиеся на хорду между ними. Угол, равный другому вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду, должен иметь вершину на нужной дуге. Условие о сумме 180° обеспечивает именно такое расположение четвёртой вершины, поэтому все четыре вершины оказываются на одной окружности.

Из одной точки вне окружности можно провести две касательные, и отрезки от этой точки до точек касания равны. В описанном четырёхугольнике применим это к каждой вершине: отрезки касательных, выходящие из одной вершины, имеют одинаковую длину. Если обозначить длины сторон по порядку как AB, BC, CD и DA, то при сложении сторон AB и CD каждый участок касания учитывается так же, как при сложении BC и DA. Поэтому AB + CD = BC + DA.

Для выпуклого четырёхугольника равенство сумм противоположных сторон является и признаком того, что окружность можно вписать. Смысл проверки в том, что касательные от каждой вершины должны иметь одинаковые отрезки до точек касания. Если суммы противоположных сторон равны, длины сторон можно согласовать с такими равными отрезками; биссектрисы углов задают положение центра, равноудалённого от сторон. Тогда расстояния от центра до сторон одинаковы, а окружность с таким радиусом касается каждой стороны.

Признаки вписанного и описанного четырёхугольников

Таблица помогает отличить фигуры по тому, что происходит с окружностью, и выбрать нужную проверку. Для вписанного четырёхугольника проверяй противоположные углы, а для описанного — противоположные стороны. Сначала убедись, что сравниваешь именно противоположные элементы, а не соседние.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 72° и 108°. Можно ли вписать ABCD в окружность? Здесь известны именно противоположные углы, поэтому достаточно проверить признак вписанного четырёхугольника. Сложим их величины: 72° + 108° = 180°.

1. Определи, какие углы сравниваются: A и C — противоположные.
2. Найди их сумму: 72° + 108° = 180°.
3. Примени признак: у выпуклого четырёхугольника с такой суммой противоположных углов можно описать окружность.

Ответ: ABCD можно вписать в окружность. Проверка сработала, потому что сумма именно противоположных углов равна 180°.

Задача 2. ABCD — вписанный четырёхугольник. Найти угол D, если угол B равен 115°. Углы B и D расположены напротив друг друга, поэтому их сумма составляет 180°. Из этой суммы вычтем известное значение угла B.

1. Запиши свойство: ∠B + ∠D = 180°.
2. Подставь значение ∠B: 115° + ∠D = 180°.
3. Вычти 115°: ∠D = 180° − 115° = 65°.

Ответ: угол D равен 65°. Результат меньше 180°, как и должен быть внутренний угол выпуклого четырёхугольника.

Задача 3. Стороны выпуклого четырёхугольника по порядку равны 5 см, 7 см, 8 см и x см. Найти x, если четырёхугольник описан около окружности. Важно сохранить порядок: если AB = 5, BC = 7, CD = 8, DA = x, то противоположны стороны AB и CD, а также BC и DA. Для описанного четырёхугольника суммы этих пар равны.

1. Запиши равенство противоположных сторон: AB + CD = BC + DA.
2. Подставь данные: 5 + 8 = 7 + x.
3. Вычисли: 13 = 7 + x, поэтому x = 13 − 7 = 6.

Ответ: x = 6 см. Проверка: 5 + 8 = 7 + 6 = 13, значит, равенство сумм противоположных сторон выполнено.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что у вписанного четырёхугольника противоположные углы равны. Это путают с другими известными свойствами углов, но здесь верно не равенство углов, а их сумма 180°. Проверь себя сложением: например, углы 115° и 65° подходят, хотя они не равны.

Вторая ошибка — применить признак вписанного четырёхугольника к любой паре углов. Обычно так происходит, когда соседние и противоположные углы не различают. Перед вычислением отметь пары: у четырёхугольника противоположны A и C, B и D; признак проверяют только для такой пары.

Третья ошибка — перепутать вписанный и описанный четырёхугольники. Слова похожи, поэтому можно решить, что в обоих случаях окружность проходит через вершины. Проверь определение: у вписанного вершины лежат на окружности, а у описанного окружность касается сторон.

Четвёртая ошибка — при описанном четырёхугольнике приравнять суммы соседних сторон. Обычно сбивает то, что соседние стороны сходятся в одной вершине, где видна касательная. Но отрезки касательных приводят к равенству сумм противоположных сторон. Запиши стороны по порядку и сравни AB + CD с BC + DA.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся свойства вписанных углов и дуг: именно они объясняют сумму противоположных углов. Также нужно знать, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. В задачах пригодится умение находить сумму углов выпуклого четырёхугольника, которая равна 360°, и различать соседние и противоположные углы и стороны. Эти знания позволяют решать задачи на окружности, касательные и неизвестные величины.

Что запомнить

• У вписанного четырёхугольника все вершины лежат на одной окружности.
• У описанного четырёхугольника все стороны касаются одной окружности.
• Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
• Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, он вписанный.
• У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.
• Равенство сумм противоположных сторон — признак описанного выпуклого четырёхугольника.