"Геометрия", Погорелов А.В.
Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Чтобы построить его точно, удобно сначала начертить окружность: вершины такого многоугольника делят её на равные дуги, а соответствующие центральные углы равны 360°/n, где n — число сторон. Поэтому можно получить треугольник, квадрат, шестиугольник и восьмиугольник, размечая окружность циркулем и линейкой. Эти построения помогают связывать свойства многоугольников с окружностью.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Например, квадрат правильный, а прямоугольник с неодинаковыми сторонами — нет. Для построения удобно расположить вершины на одной окружности: так легче следить, чтобы расстояния между ними были одинаковыми.
Описанная окружность правильного многоугольника — окружность, проходящая через все его вершины. Её центр равноудалён от вершин, поэтому при разметке окружности удобно пользоваться циркулем. Радиус такой окружности помогает связать её с длиной стороны многоугольника.
Центральный угол правильного n-угольника — угол с вершиной в центре описанной окружности, стороны которого проходят через две соседние вершины. Полный оборот вокруг центра равен 360°, поэтому угол равен 360°/n. Это значение показывает, на какой угол нужно поворачивать радиус, чтобы отметить следующую вершину.
Вписанная окружность правильного многоугольника — окружность, которая касается каждой его стороны. Её центр совпадает с центром описанной окружности. Она помогает представить расстояние от центра до стороны и показывает, что стороны расположены относительно центра одинаково.
У правильного многоугольника вершины равноудалены от общего центра, поэтому лежат на одной окружности. Если соседние центральные углы разные, дуги между соседними вершинами тоже будут разными, а соответствующие хорды могут иметь разную длину. Поэтому для правильной фигуры нужно разделить окружность на равные дуги. Угол каждой части находят, разделив 360° на число сторон.
Правильный треугольник можно получить, если циркулем откладывать на окружности хорды, равные радиусу. Такая хорда вместе с двумя радиусами образует равносторонний треугольник: все три стороны равны, значит, и каждый угол составляет 60°. Поэтому окружность разбивается на шесть одинаковых дуг. Чтобы получить треугольник, выбирают вершины через одну: между соседними выбранными точками оказываются две дуги по 60°, то есть центральный угол 120°.
Квадрат строят по концам двух взаимно перпендикулярных диаметров. Диаметры делят окружность на четыре одинаковые дуги, потому что угол между соседними радиусами равен 90°. Все четыре вершины одинаково удалены от центра, а равным центральным углам соответствуют равные хорды. Значит, стороны квадрата равны; его углы также прямые.
Для правильного шестиугольника установите циркуль на радиус окружности и последовательно откладывайте этот отрезок по окружности. Каждая полученная сторона вместе с двумя радиусами образует равносторонний треугольник, поэтому её длина совпадает с радиусом. Шесть таких отрезков замыкают окружность, поскольку шесть углов по 60° дают 360°. Получаются шесть равных сторон и равные центральные углы.
Чтобы получить правильный восьмиугольник из квадрата, нужно разделить пополам дуги между его соседними вершинами. Угол каждой такой дуги равен 90°, а после деления — 45°. Можно провести биссектрисы центральных углов: биссектриса делит угол на две равные части. Новые точки вместе с вершинами квадрата дают восемь равных дуг; соединение точек по порядку образует правильный восьмиугольник.
| Многоугольник | Центральный угол | Что откладывают или проводят | Ключевое обоснование |
|---|---|---|---|
| Правильный треугольник | 120° | Отмечают шесть дуг по 60°, затем берут вершины через одну | Три равные дуги по 120° дают равные стороны и углы |
| Квадрат | 90° | Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра | Диаметры делят окружность на четыре равные дуги |
| Правильный шестиугольник | 60° | Циркулем шесть раз откладывают радиус на окружности | Сторона равна радиусу, а шесть углов по 60° заполняют круг |
| Правильный восьмиугольник | 45° | Делят пополам дуги между вершинами квадрата | Четыре дуги по 90° превращаются в восемь дуг по 45° |
Сначала выберите строку по числу сторон, затем используйте указанный способ разметки окружности. Обоснование помогает проверить, что точки расположены равномерно, а не просто выглядят симметричными на чертеже.
Ответ: построен правильный шестиугольник. Его стороны равны радиусу данной окружности.
Ответ: получен правильный треугольник. Если соединить соседние точки шестиугольника, получится шестиугольник, а не треугольник.
Ответ: построен правильный восьмиугольник, полученный делением дуг квадрата пополам.
Считать, что равных сторон достаточно для правильного многоугольника, — ошибка: правильными должны быть и все углы. Её допускают, когда проверяют только длины отрезков и не следят за расположением вершин. Сверьте центральные углы или дуги: они должны быть равны, а затем проверьте углы фигуры.
При построении шестиугольника иногда откладывают хорды, равные радиусу, но каждый раз произвольно раскрывают или сжимают циркуль. Тогда длины хорд могут различаться. Чтобы этого избежать, установите раствор циркуля по радиусу окружности и сохраняйте его неизменным до завершения разметки.
Для треугольника нельзя соединять соседние вершины построенного шестиугольника: так получится шестиугольник. Ошибку допускают, потому что все шесть точек уже отмечены и их хочется соединить подряд. Проверьте число выбранных вершин: нужно взять три точки через одну, а между ними должны лежать по две дуги.
При построении восьмиугольника делят пополам стороны квадрата вместо дуг между его вершинами. Середина стороны не обязана быть вершиной на окружности, поэтому такое действие не делит окружность на равные части. Делите центральные углы биссектрисами, а середины отмечайте именно на окружности; проверьте, что получилось восемь равных дуг.
Для построений нужны умение чертить окружность, проводить перпендикулярные прямые и строить биссектрису угла. При доказательствах полезны свойства равнобедренного и равностороннего треугольников: они объясняют, почему радиусы и хорды образуют равные стороны. Также нужно понимать, что равным центральным углам соответствуют равные дуги и хорды.
Эти знания пригодятся при изучении длины окружности и вписанных и описанных многоугольников. Разметка равными частями помогает находить положение вершин, а общий центр связывает многоугольник с его окружностями. Так построение становится способом применять свойства окружности на чертеже.
Почему для построения правильного многоугольника удобно сначала построить окружность?
Все вершины правильного многоугольника можно расположить на одной окружности. Равные стороны и углы соответствуют равным дугам и центральным углам, поэтому достаточно разделить окружность на нужное число одинаковых частей.
Почему сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности?
Окружность делится вершинами шестиугольника на шесть дуг, а каждой дуге соответствует угол 60°. Треугольник, образованный двумя радиусами и стороной шестиугольника, равносторонний: все его углы равны 60°, поэтому хорда равна радиусу.
Как из построенного шестиугольника получить правильный треугольник?
Выберите три вершины шестиугольника через одну и соедините их по порядку. Между соседними выбранными вершинами лежат по две равные дуги, поэтому все три стороны и угла получившегося треугольника равны.
Как из квадрата получить правильный восьмиугольник?
Разделите пополам каждую дугу между соседними вершинами квадрата. Получится восемь равных дуг; соедините их концы по порядку, и центральные углы будут равны 45°.
Как проверить, что построенный многоугольник действительно правильный?
Проверьте, что вершины лежат на одной окружности и делят её на равные дуги. Тогда стороны как равные хорды будут равны, а углы многоугольника также окажутся равными. Для проверки чертежа можно дополнительно измерить стороны и углы.
118. Построение некоторых правильных многоугольников
