"Геометрия", Погорелов А.В.
У каждого правильного многоугольника можно провести описанную окружность через все его вершины и вписанную окружность, касающуюся всех его сторон. Радиусы этих окружностей связаны со стороной многоугольника и числом его сторон. Главное — использовать половину центрального угла: с её помощью получают формулы для радиусов через синус и тангенс, а теорема Пифагора позволяет перейти от одного радиуса к другому.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Радиус описанной окружности правильного многоугольника — расстояние от его центра до любой вершины; обозначим его R. Все вершины лежат на этой окружности, поэтому расстояния от центра до них одинаковы. R понадобится, когда нужно связать вершины многоугольника с его окружностью.
Радиус вписанной окружности правильного многоугольника — расстояние от его центра до стороны; обозначим его r. Это расстояние измеряют по перпендикуляру к стороне, а не по наклонному отрезку. Перпендикуляр от центра к стороне называют апофемой; он показывает, как далеко сторона расположена от центра.
Сторона правильного многоугольника — общая длина всех его сторон; обозначим её a. Например, если сторона правильного пятиугольника равна 4 см, то a = 4 см. Это обозначение нужно, чтобы записывать формулы для радиусов и подставлять в них известную длину.
Центральный угол правильного n-угольника — угол между радиусами, проведёнными к концам одной стороны; его величина равна 360°/n. Здесь n означает число сторон многоугольника. Это обозначение помогает определить угол, от которого зависят радиусы.
Если соединить центр правильного многоугольника со всеми вершинами, он разобьётся на равные равнобедренные треугольники. Их боковые стороны — радиусы описанной окружности, а основания — стороны многоугольника. Треугольники равны, потому что у правильного многоугольника стороны и углы одинаковы. У каждого треугольника угол при вершине равен центральному углу 360°/n.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины на основание, одновременно делит основание пополам и угол при вершине пополам. Поэтому получается прямоугольный треугольник с углом 180°/n, гипотенузой R и катетами r и a/2. Катет r — это высота, то есть апофема, а второй катет равен половине стороны. Так становятся видны все нужные для вычисления величины.
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла 180°/n это отношение равно (a/2)/R, откуда R = a/(2 sin(180°/n)). Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg(180°/n) = (a/2)/r. Поэтому радиус вписанной окружности выражается формулой r = a/(2 tg(180°/n)).
Теорема Пифагора связывает стороны получившегося прямоугольного треугольника. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть R² = r² + (a/2)². Здесь используются именно катеты r и a/2, а не полная сторона многоугольника. Равенство пригодится, если известны два элемента треугольника и нужно найти третий.
Формулы для R и r позволяют вычислить радиус, когда известны сторона a и число сторон n: сначала находят угол 180°/n, затем подставляют данные. При изменении n меняется угол, а значит, меняются и значения синуса и тангенса. Равенство Пифагора помогает перейти от одного радиуса к другому, если известна сторона или её половина. Таким образом, выбор способа зависит от того, какие величины даны в условии.
| Что связывается | Формула | Как используется |
|---|---|---|
| Радиус описанной окружности R, сторона a и число сторон n | R = a/(2 sin(180°/n)) | Найти R, если известны a и n. |
| Радиус вписанной окружности r, сторона a и число сторон n | r = a/(2 tg(180°/n)) | Найти r, если известны a и n. |
| Радиусы R и r и сторона a | R² = r² + (a/2)² | Найти один из радиусов, если известны другой и сторона. |
| Половина центрального угла правильного n-угольника | 180°/n | Подставить нужный угол в формулы для радиусов. |
Сначала определите, какие данные известны и что требуется найти. Для формул с синусом и тангенсом обязательно вычислите половину центрального угла — 180°/n. Если под рукой есть R, r и a, можно вместо этого воспользоваться равенством Пифагора.
Найдём радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной 6 см. Из условия известны a = 6 см и n = 3, а найти нужно r. Формула для r использует тангенс половины центрального угла. Сначала вычислим этот угол: 180°/3 = 60°.
Радиус вписанной окружности равен √3 см. Мы использовали именно тангенс, потому что искали катет r, прилежащий к углу 60°. Полученное значение меньше стороны треугольника, что согласуется с расположением вписанной окружности внутри него.
Найдём радиус описанной окружности правильного шестиугольника со стороной 8 см. Здесь a = 8 см и n = 6, поэтому половина центрального угла равна 180°/6 = 30°. Для описанного радиуса нужна формула с синусом. При этом sin 30° = 1/2.
Радиус описанной окружности равен 8 см. В правильном шестиугольнике он совпал с длиной стороны. Это следует из вычисления по формуле, а не является основанием подставлять сторону вместо радиуса в других многоугольниках.
Радиус описанной окружности правильного пятиугольника равен 10 см; нужно найти сторону и радиус вписанной окружности. Число сторон n = 5, поэтому половина центрального угла равна 36°. Сначала выразим сторону из формулы для R, а затем найдём r через прямоугольный треугольник. Используем значения sin 36° ≈ 0,588 и cos 36° ≈ 0,809.
Сторона пятиугольника приблизительно равна 11,76 см, а радиус вписанной окружности — 8,09 см. Ответы округлены до сотых, потому что использованы приближённые значения синуса и косинуса. Проверить связь величин можно равенством R² = r² + (a/2)².
Подстановка угла 360°/n вместо 180°/n приводит к неверному результату. Так делают, если забывают, что высота равнобедренного треугольника делит центральный угол пополам. Перед вычислениями отметьте в прямоугольном треугольнике именно его острый угол: он равен половине центрального.
Путаница между R и r меняет смысл задачи: R идёт от центра к вершине, а r — перпендикулярно к стороне. Ошибка возникает, когда оба обозначения воспринимают просто как «радиус». Проверьте, куда должен попасть конец искомого отрезка: в вершину или на сторону под прямым углом.
Если записать катет a вместо a/2, теорема Пифагора даст неправильную связь между величинами. Высота делит основание равнобедренного треугольника пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике лежит только половина стороны многоугольника. Для самопроверки сопоставьте чертёж: основание целиком равно a, а каждый из двух равных отрезков — a/2.
Использовать формулу, не учитывая число сторон n, нельзя: от n зависит половина центрального угла, а от неё — значения синуса и тангенса. Ошибка возможна, если подставить сторону и забыть найти угол. Сначала запишите n и вычислите 180°/n, затем выберите нужную формулу и подставьте данные.
Чтобы разобраться с формулами, нужно знать свойства правильного многоугольника и центрального угла, а также уметь работать с прямоугольным треугольником. Синус и тангенс помогают выразить отношения его сторон, а теорема Пифагора связывает катеты с гипотенузой. Эти знания объединяются в одной геометрической модели — треугольнике, образованном центром, вершиной и точкой на стороне.
Формулы пригодятся, когда требуется вычислить элементы правильных многоугольников, их площади или длины связанных с ними окружностей. Найденный радиус помогает перейти от многоугольника к окружности и использовать её свойства. Поэтому важно не только запомнить формулы, но и понимать, какие отрезки и углы в них входят.
Почему в формулах используется угол 180°/n, а не 360°/n?
Центральный угол равен 360°/n, но высота равнобедренного треугольника делит его пополам. Поэтому в прямоугольном треугольнике, из которого выводят формулы, угол равен 180°/n.
Как не перепутать формулы для R и r?
Радиус R идёт от центра к вершине, а r — от центра перпендикулярно к стороне. В формулах R соответствует синус: R = a/(2 sin(180°/n)), а r — тангенс: r = a/(2 tg(180°/n)).
Почему в равенстве Пифагора появляется половина стороны?
Высота равнобедренного треугольника делит его основание, то есть сторону многоугольника, пополам. Поэтому катет прямоугольного треугольника равен a/2, и получается равенство R² = r² + (a/2)².
Можно ли найти радиус вписанной окружности, если известен только радиус описанной?
Одного радиуса R недостаточно: нужно знать ещё число сторон n или сторону a. Если известны R и n, можно найти половину стороны по формуле a/2 = R sin(180°/n), а затем вычислить r.
Как найти сторону правильного многоугольника, если известен радиус описанной окружности?
Нужно знать также число сторон n и выразить a из формулы для описанного радиуса. Получится a = 2R sin(180°/n).
117. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников
