"Геометрия", Погорелов А.В.
Правильный выпуклый многоугольник имеет равные стороны и равные углы, а его вершины не образуют вмятин. Если у двух таких фигур одинаковое число сторон, они подобны: соответствующие углы равны, а стороны отличаются в одно и то же число раз. Это позволяет находить неизвестные длины, периметры и площади через коэффициент подобия. Главное — правильно указать порядок соответствия фигур и помнить, что площади меняются в квадрате масштаба.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Выпуклость означает, что фигура целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей её сторону. Например, у правильного пятиугольника нет вмятин, а его стороны и углы одинаковы. Это определение помогает отличать фигуры, для которых верны свойства правильных многоугольников.
Подобные многоугольники — многоугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствие вершин задают в одном порядке: например, вершине A первой фигуры соответствует вершина A′ второй, затем B — B′ и так далее. Тогда сопоставляют стороны, соединяющие соответствующие пары вершин. Такой порядок нужен, чтобы сравнивать именно парные углы и длины.
Соответствующие стороны — стороны двух фигур, которые поставлены в пару при заданном соответствии вершин. Если A соответствует A′, а B — B′, то сторона AB соответствует стороне A′B′. Аналогично сопоставляют следующие стороны, двигаясь по контуру в выбранном порядке. Благодаря этому можно записать правильное отношение длин, а не сравнить случайные стороны.
Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон. Если сравниваем первую фигуру со второй, то k = сторона второй / соответствующая сторона первой. При таком порядке коэффициент может быть больше единицы, если вторая фигура крупнее, меньше единицы, если она меньше, или равен единице, если размеры совпадают. Поэтому при записи коэффициента всегда указывай, от какой фигуры к какой ведётся сравнение.
У правильного выпуклого многоугольника все внутренние углы равны. Если в нём n сторон, сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°, поэтому каждый угол равен (n − 2) · 180° / n. В двух правильных многоугольниках с одинаковым n эта формула даёт один и тот же результат. Значит, их соответствующие углы равны независимо от длины сторон.
У каждой фигуры все стороны имеют одну длину. Пусть сторона первого правильного многоугольника равна a, а второго — b. Тогда отношение любых соответствующих сторон равно b / a, потому что у первой фигуры каждая сторона равна a, а у второй — b. Все такие отношения одинаковы, и вместе с равенством углов это удовлетворяет определению подобия. Следовательно, правильные многоугольники с одинаковым числом сторон подобны.
Число сторон задаёт тип правильного многоугольника, а длина стороны влияет только на его размер. Например, любые правильные треугольники подобны друг другу, и любые правильные пятиугольники тоже подобны. Но подобные фигуры должны иметь одинаковое число вершин и сторон, чтобы их можно было сопоставить попарно. Поэтому правильные многоугольники с разным числом сторон не подобны.
Периметр — сумма длин всех сторон. Если соответствующие стороны двух подобных фигур относятся как k, то каждая сторона второй фигуры в k раз больше или меньше соответствующей стороны первой. Складывая стороны, получаем такое же отношение и для периметров: P₂ / P₁ = k. Это правило позволяет находить коэффициент подобия по периметрам, а затем применять его к любой соответствующей стороне.
Площадь меняется не так, как одна длина: при масштабировании в k раз одновременно изменяются два линейных размера фигуры. Поэтому площадь умножается на k · k, то есть на k², и S₂ / S₁ = k². Например, при увеличении сторон в 3 раза площадь становится в 9 раз больше. Если известны площади, коэффициент подобия находят, извлекая квадратный корень из их отношения.
| Характеристика | Первый многоугольник | Второй многоугольник | Связь между ними |
|---|---|---|---|
| Число сторон | n | n | Одинаковое |
| Величина соответствующих углов | (n − 2) · 180° / n | (n − 2) · 180° / n | Углы равны |
| Длины соответствующих сторон | a | b | b / a = k |
| Коэффициент подобия | — | — | k = b / a |
| Периметры | P₁ | P₂ | P₂ / P₁ = k |
| Площади | S₁ | S₂ | S₂ / S₁ = k² |
Сначала проверь, что у фигур одинаковое число сторон и что сравниваемые элементы соответствуют друг другу. Затем выбери направление сравнения: от первой фигуры ко второй или наоборот. По таблице можно перейти от отношения сторон к периметрам или площадям, не меняя порядок числителя и знаменателя.
Задача 1. Правильные шестиугольники имеют стороны 4 см и 10 см. Подобны ли они и каков коэффициент подобия от первого ко второму? У фигур одинаковое число сторон, поэтому их углы равны, а отношения соответствующих сторон постоянны. Найдём коэффициент именно от первой фигуры ко второй.
Ответ: подобны; коэффициент подобия от первого ко второму равен 2,5.
Задача 2. Периметр одного правильного пятиугольника равен 30 см, другого — 42 см. Найти сторону второго пятиугольника, если сторона первого равна 5 см. Оба многоугольника правильные и имеют по пять сторон, поэтому соответствующие стороны относятся так же, как периметры. Сначала найдём масштаб увеличения, а затем умножим на него известную сторону.
Ответ: условие противоречиво: правильный пятиугольник со стороной 5 см имеет периметр 25 см, а не 30 см. Если использовать только заданное отношение периметров как масштаб, получится 7 см, но такой набор данных не описывает указанные правильные пятиугольники.
Задача 3. Площади двух правильных восьмиугольников относятся как 9:25. Найти отношение их периметров и отношение соответствующих сторон. Одинаковое число сторон означает, что фигуры подобны. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, поэтому для перехода к длинам нужно извлечь квадратный корень.
Ответ: отношение периметров и соответствующих сторон первого и второго восьмиугольников равно 3:5.
Ошибка: считать любые правильные многоугольники подобными. Правильность каждой фигуры сама по себе не гарантирует подобия: число сторон должно совпадать. Ошибку допускают, потому что все стороны и углы внутри каждой фигуры равны. Проверь число сторон до сравнения углов и длин.
Ошибка: сопоставлять стороны и углы в разном порядке. Тогда в отношении могут оказаться длины, которые не соответствуют друг другу, и вычисление даст неверный результат. Такое случается, если перечислять вершины одной фигуры по часовой стрелке, а другой — вразнобой. Запиши пары соответствующих вершин и двигайся по контуру одинаково.
Ошибка: перепутать порядок в коэффициенте подобия. Отношение периметров зависит от того, какую фигуру делят на какую: коэффициент от первой ко второй — P₂ / P₁. Путаница возникает, когда называют коэффициент, не указав направление сравнения. Перед вычислением подпиши числитель и знаменатель названиями фигур и проверь, должна ли вторая фигура увеличиваться или уменьшаться.
Ошибка: принять отношение площадей равным коэффициенту подобия. Площадь зависит сразу от двух линейных размеров, поэтому при изменении сторон в k раз она изменяется в k² раз. Ошибка возникает из-за переноса правила для длин на площади. Проверь вычисление возведением коэффициента в квадрат; если даны площади, для отношения сторон извлеки квадратный корень.
Для этой темы нужны определения правильного многоугольника, равных углов и пропорциональных отрезков. Также пригодятся умение находить периметр и площадь многоугольника и знание признаков подобия: они объясняют, почему достаточно сравнить углы и отношения сторон. Свойства подобия помогают решать задачи на масштабирование фигур, находить неизвестные длины и сравнивать периметры и площади. Такой подход встречается и в практических задачах, где изображение уменьшено или увеличено относительно объекта.
Достаточно ли равенства числа сторон, чтобы правильные многоугольники были подобны?
Да, если оба многоугольника правильные и выпуклые. При равном числе сторон их соответствующие углы равны, а отношения соответствующих сторон одинаковы, поэтому фигуры подобны.
Почему правильные многоугольники с разным числом сторон не могут быть подобны?
У подобных многоугольников вершины и стороны должны соответствовать друг другу попарно. Если число сторон различается, такое соответствие для всех сторон построить нельзя.
Как определить коэффициент подобия по периметрам?
Раздели периметр второй фигуры на периметр первой, если коэффициент нужен от первой ко второй. Например, при периметрах 12 см и 18 см коэффициент от первой ко второй равен 18 : 12 = 1,5.
Почему площади подобных многоугольников относятся как квадраты соответствующих сторон?
При увеличении фигуры в k раз каждая длина меняется в k раз. Площадь зависит от двух линейных размеров, поэтому она меняется в k · k = k² раз.
Могут ли подобные правильные многоугольники быть равными?
Да. Если соответствующие стороны имеют одинаковую длину, коэффициент подобия равен 1, и правильные многоугольники равны по форме и размерам.
120. Подобие правильных выпуклых многоугольников
