"Геометрия", Погорелов А.В.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Чтобы узнать, сколько материала нужно для обводки круглого предмета или какой путь проходит колесо за один оборот, находят длину этой линии. Для любой окружности отношение её длины к диаметру одно и то же — это число π, приблизительно равное 3,14. Поэтому длину можно вычислить по диаметру или радиусу: C = πd и C = 2πr.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра; это расстояние называют радиусом. Центр служит опорной точкой, относительно которой задаётся положение окружности. Радиусом также называют отрезок от центра до любой точки линии. Это понятие нужно, чтобы описывать размер окружности и вычислять её длину.
Длина окружности — длина линии, образующей окружность. Её обозначают буквой C и измеряют теми же единицами, что и другие длины: например, в сантиметрах или метрах. Представь, что круглый край можно распрямить: получился бы отрезок такой же длины. Эта величина позволяет сравнивать окружности и решать практические задачи о круглых предметах.
Число π — постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру; приближённо π ≈ 3,14. Диаметр — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности. Число π связывает размер окружности с её длиной, независимо от того, большая она или маленькая. Оно нужно для вычисления длины по диаметру или радиусу.
Приближённо измерить длину окружности можно нитью: плотно приложить её к краю, отметить место соединения концов и измерить получившийся отрезок. Другой способ — прокатить круглый предмет по прямой на один полный оборот и измерить путь. Оба способа дают лишь приближение: нить может растянуться или лечь неровно, а круг — проскользнуть или пройти не ровно один оборот. Кроме того, у линейки и измеряющего человека есть своя погрешность, поэтому результат измерения может немного отличаться от настоящего.
Для окружностей разных размеров отношение длины к диаметру остаётся одинаковым. Если увеличить диаметр в два раза, окружность станет в два раза длиннее: её можно представить как увеличенную копию исходной линии. В общем случае при увеличении диаметра в несколько раз длина увеличивается во столько же раз. Поэтому деление длины окружности на диаметр всегда даёт одно и то же число, а не зависит от размера предмета.
Это постоянное отношение обозначают греческой буквой π: длина окружности, делённая на диаметр, равна π. Значит, чтобы найти длину, нужно диаметр умножить на π. Так получают формулу C = πd. Буква C обозначает длину окружности, а d — её диаметр; формула показывает, как вычислить одну величину по другой.
Диаметр и радиус связаны равенством d = 2r: диаметр состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой по разные стороны от центра. Если вместо d в формуле C = πd подставить 2r, получится C = π · 2r, то есть C = 2πr. Эта запись равносильна первой и удобна, когда в условии известен радиус. Обе формулы дают один результат, если правильно перевести радиус в диаметр или выбрать формулу под известную величину.
В вычислениях сначала выясни, что дано, затем выбери подходящую формулу и подставь значение радиуса или диаметра. Если величины заданы в разных единицах, сначала приведи их к одним единицам; ответ запиши в соответствующей единице длины. Число π можно оставить в точном виде или заменить приближением 3,14, если нужно получить десятичный ответ. При округлении учитывай требуемую точность, ведь замена π на 3,14 уже делает вычисление приближённым.
Таблица помогает выбрать формулу по величине, которая известна в задаче. Если дан диаметр, используй C = πd, а если дан радиус — C = 2πr. Перед подстановкой проверь единицы измерения и помни, что d = 2r.
| Что известно | Формула длины окружности | Связь величин |
|---|---|---|
| Диаметр d | C = πd | d = 2r |
| Радиус r | C = 2πr | r = d/2 |
| Длина окружности C | C = πd = 2πr | π ≈ 3,14 |
Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 10 см. Известен диаметр, поэтому удобно воспользоваться формулой C = πd. Ответ можно оставить с π или вычислить приближённо, заменив π числом 3,14. Поскольку диаметр дан в сантиметрах, длину тоже выразим в сантиметрах.
Задача 2. Найти длину окружности радиуса 4 м. Здесь дан именно радиус, поэтому можно сразу применить формулу C = 2πr. Не нужно предварительно считать диаметр, хотя такой путь тоже привёл бы к тому же результату. Результат будет выражен в метрах, так как радиус измерен в метрах.
Задача 3. Длина окружности равна 31,4 см, нужно найти её радиус. Теперь длина известна, а радиус неизвестен, поэтому формулу C = 2πr нужно преобразовать. Для этого обе части делят на 2π, чтобы r остался один. Поскольку в условии дана десятичная длина, для вычисления удобно взять π ≈ 3,14.
Чтобы работать с длиной окружности, нужно различать радиус и диаметр и помнить связь d = 2r. Также пригодятся измерение отрезков и умение подставлять числа в буквенную формулу. Эти навыки помогают не только вычислять, но и проверять, соответствует ли результат условию. Формулы C = πd и C = 2πr применяются в задачах о колёсах, круглых дорожках и других предметах круглой формы.
Что такое длина окружности?
Это длина линии, которая образует окружность. Например, если обвести круглый предмет нитью и измерить нить, получится приближённая длина окружности.
Почему отношение длины окружности к диаметру всегда одинаково?
При увеличении окружности её диаметр и длина увеличиваются в одинаковое число раз. Поэтому их отношение не меняется и для всех окружностей равно числу π.
Чему приблизительно равно число π?
Число π приблизительно равно 3,14. Это округлённое значение: у числа π бесконечная непериодическая десятичная запись.
Как выбрать формулу, если дана длина радиуса?
Используй формулу C = 2πr, потому что в ней указаны радиус r и длина окружности C. Также можно сначала найти диаметр по формуле d = 2r, а затем применить C = πd.
Почему в ответе длины окружности нужно указывать единицу измерения?
Длина — это величина, которая измеряется в единицах длины, например сантиметрах или метрах. Без единицы числовой ответ неполон, а единицы также помогают проверить, что вычислялась именно длина.
121. Длина окружности
