§ 16. Длина окружности

Определения и обозначения

Длина окружности — это длина замкнутой линии окружности; её обозначают буквой C или L. Представьте, что вы обвели окружность ниткой, а затем распрямили нить: её длина и будет длиной окружности. Эта величина нужна, чтобы измерять путь вдоль окружности, например расстояние, которое проходит колесо за один оборот.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Он состоит из двух радиусов, поэтому d = 2r, где d — диаметр, а r — радиус. Знание диаметра позволяет сравнивать окружности и вычислять их длину по формуле C = πd.

Число π — постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру. Его приближённое значение — π ≈ 3,14. Число π связывает размер окружности с её длиной: зная диаметр, можно найти длину, а при известной длине — определить диаметр.

Как это устроено

Длину окружности можно измерить нитью: приложить её к линии окружности, отметить полный оборот и измерить распрямлённый отрезок. Для колеса удобно отметить точку на ободе и прокатить его ровно один оборот по прямой: пройденный путь равен длине окружности. Чем больше радиус, тем дальше от центра расположены точки линии и тем длиннее путь вокруг неё. Поэтому длина окружности зависит от радиуса.

Возьмём окружности разного размера и сравним длину каждой с её диаметром. У большой окружности длина больше, чем у маленькой, но и диаметр увеличивается в той же пропорции. Поэтому при делении длины на диаметр получается одно и то же число: C/d. Такое постоянное отношение позволяет сопоставлять окружности, даже если их размеры различаются.

Постоянное отношение C/d обозначают греческой буквой π. Значит, C/d = π. Чтобы выразить длину окружности, умножим обе части равенства на d: получим C = πd. Формула показывает, что длина окружности в π раз больше её диаметра; для вычислений часто берут π ≈ 3,14.

Диаметр равен удвоенному радиусу: d = 2r. Если подставить это равенство в формулу C = πd, получится C = π · 2r, то есть C = 2πr. При известном диаметре удобнее сразу использовать C = πd, а при известном радиусе — C = 2πr. Так меньше риск сначала выполнять лишнее преобразование.

Число π иррационально: его десятичная запись бесконечна и не повторяется периодически. Поэтому 3,14 — не точное значение, а приближение, которого обычно достаточно для расчётов. Если задача просит точный ответ, оставляют выражение с π, например 10π см; если нужен численный результат, используют указанное приближение и округляют итог с подходящей точностью.

Связь длины окружности с радиусом и диаметром

Сначала найдите в таблице величину, которая дана в задаче, и выберите соответствующую формулу. Если известна длина окружности, сначала выразите диаметр или радиус. Во всех вычислениях следите, чтобы результат был записан в единицах длины.

Разбор задач

Задача 1. Найти длину окружности радиуса 5 см. Дана величина r, поэтому используем формулу C = 2πr. Сначала найдём точное выражение, затем при необходимости посчитаем приближённое значение. Длина должна быть выражена в сантиметрах, как и радиус.

1. Подставим r = 5 см: C = 2π · 5.
2. Умножим числа: C = 10π см — точное выражение.
3. Для приближённого ответа возьмём π ≈ 3,14: C ≈ 10 · 3,14 = 31,4 см.

Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см.

Задача 2. Длина окружности равна 31,4 см. Найти её диаметр и радиус, приняв π ≈ 3,14. Здесь известна длина, а диаметр можно найти из равенства C = πd. После этого радиус будет в два раза меньше диаметра. Такой порядок использует заданные данные напрямую.

1. Выразим диаметр: d = C/π.
2. Подставим числа: d = 31,4/3,14 = 10 см.
3. Найдём радиус: r = d/2 = 10/2 = 5 см.

Ответ: диаметр равен 10 см, радиус — 5 см.

Задача 3. Колесо диаметром 70 см совершило 120 полных оборотов. Какое расстояние оно прошло? За один оборот колесо проходит длину своей окружности. Поэтому сначала найдём длину окружности, затем умножим её на 120. Диаметр задан в сантиметрах, так что в конце переведём общий путь в метры.

1. Найдём путь за один оборот: C = πd = 70π см.
2. За 120 оборотов колесо пройдёт 120 · 70π = 8400π см.
3. При π ≈ 3,14 получаем 8400 · 3,14 = 26 376 см.
4. Переведём сантиметры в метры: 26 376 см = 263,76 м.

Ответ: приблизительно 263,76 м. Если в задаче требуется округлить результат, его округляют уже после перевода единиц.

Типичные ошибки

Иногда в формулу C = πd подставляют радиус. Это происходит, когда обозначения d и r принимают за взаимозаменяемые, хотя диаметр вдвое больше радиуса. Перед вычислением проверьте, какая величина дана; если дан радиус, используйте C = 2πr или сначала найдите d = 2r.

Также путают формулы C = πd и C = 2πr, полагая, что одна из них неверна. Обе формулы дают одну длину, но в первой нужно подставлять диаметр, а во второй — радиус. Проверка проста: замените d на 2r в первой формуле и убедитесь, что получается вторая.

Значение π ≈ 3,14 иногда записывают как точное. Причина в том, что для обычных вычислений используют именно это округлённое число, но от этого π не становится равным 3,14. Если просят точный ответ, сохраните π в выражении; если нужен приближённый — используйте знак ≈.

Ещё одна ошибка — округлять промежуточные числа или забывать единицы измерения. Раннее округление может изменить итог, особенно в задаче с несколькими действиями, а число без единиц не сообщает, что именно измерено. Оставляйте промежуточный результат точным, округляйте в конце и записывайте сантиметры, метры или другие единицы длины.

Связь с другими темами

Для работы с формулами длины окружности нужно знать, что такое радиус и диаметр, и помнить соотношение d = 2r. При вычислениях также пригодятся измерение длины отрезка, деление и умножение, а иногда — перевод сантиметров в метры. В задачах о колёсах длина окружности помогает найти путь за один оборот, а затем и за несколько оборотов. Эти знания понадобятся и при изучении площади круга: там тоже используется число π.

Что запомнить

• Отношение длины окружности к её диаметру постоянно и равно π.
• Приближённо π ≈ 3,14.
• Длина окружности через диаметр: C = πd.
• Длина окружности через радиус: C = 2πr.
• Диаметр вдвое больше радиуса: d = 2r.
• В ответе указывают единицы длины и при необходимости округляют результат.