"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Круг — часть плоскости внутри окружности, а его площадь показывает, насколько велика эта часть. Формула S = πr² связывает площадь с радиусом: если радиус меняется в несколько раз, площадь меняется в квадрат этого числа. Для сектора — части круга, ограниченной двумя радиусами и дугой, — площадь составляет такую же долю от площади круга, какую центральный угол составляет от полного угла. Эти правила помогают решать задачи о кругах и составных фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь круга — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает область, ограниченная окружностью. Круг включает и внутреннюю область, и саму границу; окружность — только замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Поэтому у круга можно измерить площадь, а у окружности — длину. Площадь обычно обозначают буквой S.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру, то есть π = C/d, где C — длина окружности, а d — диаметр. Его приближённое значение равно 3,14. Число π входит в формулу площади, потому что длина окружности выражается через него: C = 2πr, а площадь связана с половиной этой длины и радиусом.
Круговой сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности. Два радиуса образуют центральный угол, вершина которого находится в центре круга. Чем больше этот угол, тем большую часть круга занимает сектор. Поэтому площадь сектора можно найти как долю площади всего круга.
Радианная мера угла — отношение длины соответствующей этому углу дуги к радиусу: α = l/r, где l — длина дуги. Если длина дуги равна радиусу, угол равен одному радиану. Такая мера удобна для вычисления сектора, потому что непосредственно связывает угол, радиус и длину дуги.
Чтобы понять формулу площади круга, его мысленно разбивают на множество одинаковых узких секторов. Затем сектора переставляют попеременно: один остриём вверх, следующий вниз. Границы получившейся фигуры становятся всё ровнее по мере того, как секторов становится больше. Поэтому фигура всё точнее напоминает прямоугольник, а её площадь не меняется при перестановке частей.
Высота этого приближённого прямоугольника равна радиусу: от верхнего края до нижнего проходит расстояние от центра круга до окружности. Его основание складывается из дуг половины окружности, потому что верхние дуги идут в одну сторону, а нижние — в другую. Значит, основание равно половине длины окружности, то есть C/2. Площадь прямоугольника равна основанию, умноженному на высоту, поэтому S = (C/2) · r.
Длина окружности выражается формулой C = 2πr. Подставив её в полученное выражение, имеем S = (2πr/2) · r = πr². Так получается формула площади круга через радиус. Если радиус увеличить в k раз, в формуле появится множитель k²: площадь станет больше в k² раз, а не просто в k раз.
Все круговые сектора одного круга составляют целый круг, а их центральные углы — полный угол 360°. Поэтому доля площади сектора равна α/360°, где α — его угол в градусах. Умножая эту долю на площадь круга, получаем Sсектора = (α/360°) · πr². Например, угол 90° составляет четверть полного оборота, значит, такой сектор занимает четверть круга.
При радианной мере полный угол равен 2π, поэтому доля сектора составляет α/(2π). Его площадь равна этой доле от площади круга: Sсектора = α/(2π) · πr² = αr²/2. Множитель 1/2 появляется потому, что площадь всего круга содержит πr², а доля радианного угла делится на 2π. Формула применима, когда α выражен именно в радианах.
| Фигура или величина | Обозначения | Формула | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Круг | S — площадь, r — радиус | S = πr² | Известен радиус круга |
| Круговой сектор, угол задан в градусах | α — угол в градусах, r — радиус | S = (α/360°) · πr² | α задан в градусах |
| Круговой сектор, угол задан в радианах | α — угол в радианах, r — радиус | S = αr²/2 | α задан в радианах |
| Связь длины окружности и радиуса | C — длина, r — радиус | C = 2πr | Для окружности радиуса r |
Сначала проверьте, какая величина известна и в каких единицах дан угол. Если дан диаметр, сначала найдите радиус: r = d/2. Если используется градусная формула, долю делят на 360°, а для радианной формулы угол не переводят в градусы.
Задача 1. Найдите площадь круга радиуса 5 см. Известен радиус, поэтому можно сразу применить формулу площади круга. При подстановке важно возвести в квадрат только радиус, а число π оставить множителем.
Запишем формулу: S = πr².
Подставим r = 5 см: S = π · 5² = 25π см².
Приближённо вычислим: 25 · 3,14 = 78,5 см². Ответ: 25π см², или примерно 78,5 см².
Задача 2. Длина окружности равна 12π см. Найдите площадь круга. Радиус сразу не дан, поэтому сначала используем формулу длины окружности, а уже потом — формулу площади. Это позволяет не подменять радиус длиной окружности в выражении πr².
Из C = 2πr выразим радиус: r = C/(2π).
Подставим C = 12π см: r = 12π/(2π) = 6 см.
Найдём площадь: S = π · 6² = 36π см². Ответ: 36π см², или примерно 113,04 см².
Задача 3. Найдите площадь сектора круга радиуса 6 см с центральным углом 120°. Сектор занимает часть круга, соответствующую доле 120° от полного угла 360°. Сначала найдём эту долю, затем умножим её на площадь всего круга.
Найдём долю круга: 120°/360° = 1/3.
Площадь всего круга равна S = π · 6² = 36π см².
Площадь сектора: (1/3) · 36π = 12π см². Ответ: 12π см², или примерно 37,68 см².
Подставлять в формулу площади диаметр вместо радиуса — значит получить неверный результат, потому что в S = πr² используется именно расстояние от центра до окружности. Эту ошибку допускают, когда радиус и диаметр путают или не замечают, какая величина дана в условии. Перед вычислением проверьте обозначение и, если дан диаметр d, найдите r = d/2. Затем убедитесь, что в формуле возводится в квадрат именно полученный радиус.
Можно забыть возвести радиус в квадрат или ошибочно возвести в квадрат всё произведение πr. В первом случае теряется множитель r, а во втором число π тоже оказывается возведено в квадрат. Причина обычно в невнимательном чтении записи S = πr². Для проверки раскройте смысл формулы: нужно умножить π на r и ещё раз на r.
Увеличение радиуса в несколько раз не означает такое же увеличение площади. Ошибка возникает, если учитывать только один множитель r и не замечать, что в формуле их два. Например, при увеличении радиуса в 3 раза площадь возрастает в 3² = 9 раз. Проверяйте изменение площади по квадрату коэффициента изменения радиуса.
Нельзя использовать формулу сектора с градусами для угла, заданного в радианах, или наоборот, не меняя способ вычисления. Число 360° в знаменателе относится к градусам, а формула S = αr²/2 — к радианам. Путаница возникает, когда угол подставляют без проверки его единицы. Перед вычислением подпишите единицу угла и выберите соответствующую формулу.
Для вычисления площади круга нужны формулы длины окружности и умение переходить от диаметра к радиусу: d = 2r. Понимание площади как величины, измеряющей часть плоскости, помогает объяснить разбиение круга на секторы и приближение к прямоугольнику. Формулы площади круга и сектора полезны в задачах на составные фигуры, где нужно складывать или вычитать площади частей. Позже эти знания пригодятся при изучении стереометрии — геометрии пространственных тел.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает эту линию и всю область внутри неё. Площадь есть у круга, но не у самой окружности.
Почему в формуле площади круга радиус возводят в квадрат?
При выводе формулы площадь круга получается как произведение радиуса на половину длины окружности. Половина длины окружности равна πr, поэтому S = r · πr = πr². Квадрат радиуса также показывает, что площадь измеряется в квадратных единицах.
Можно ли найти площадь круга, если известна только длина окружности?
Да. Сначала из формулы C = 2πr находят радиус: r = C/(2π). Затем подставляют его в формулу S = πr².
Как найти площадь сектора, если угол задан в градусах?
Нужно разделить центральный угол α на 360° и умножить результат на площадь всего круга. Получается формула Sсектора = (α/360°) · πr². Угол и полный оборот должны быть выражены в одинаковых единицах — градусах.
Как связаны формулы площади сектора в градусах и радианах?
Градусная формула считает долю сектора от полного угла 360°, а радианная использует отношение длины дуги к радиусу. Полный угол в радианах равен 2π, поэтому формула S = αr²/2 даёт ту же площадь, что и градусная формула после перевода угла в радианы.
§ 17. Площадь круга
