"Геометрия", Погорелов А.В.
Круг — часть плоскости внутри окружности вместе с самой границей. Его площадь показывает, сколько места занимает эта фигура. Чтобы вычислить её, достаточно знать радиус или диаметр: площадь равна π, умноженному на квадрат радиуса. Число π связывает размеры круга с длиной окружности, а зависимость от квадрата радиуса объясняет, почему увеличение радиуса заметно увеличивает площадь. Эти правила помогают решать задачи о круглых площадках, деталях и основаниях тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью; в него входят и внутренние точки, и сама граница. Окружность можно представить как линию, а круг — как всю область внутри неё вместе с этой линией. Такое различие нужно, чтобы понимать, для какой фигуры находят площадь. Площадь относится к области, занимаемой кругом, а не только к его границе.
Радиус круга — отрезок от его центра до любой точки границы. Радиус обозначают буквой R; все радиусы одного круга равны. Именно радиус задаёт размер круга и нужен для вычисления его площади. Не путай радиус с диаметром: диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов.
Площадь круга — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает круг; её обозначают буквой S. Если круги имеют разные размеры, их площади позволяют сравнить занимаемое ими место. Площадь измеряют квадратными единицами, например квадратными сантиметрами. Поэтому к численному значению площади обязательно приписывают единицу с показателем 2.
Число π — постоянное отношение длины окружности к её диаметру; его приближённое значение равно 3,14. Это отношение одинаково у окружностей любого размера, поэтому π входит в формулу площади круга. В формуле S = πR² оно задаёт постоянный множитель, а R² учитывает размер конкретного круга. Для вычислений обычно используют 3,14, если точное значение не требуется.
Площадь многоугольника часто находят, разбивая его на более простые фигуры, площади которых уже известны. С кругом поступают иначе: его можно приблизить вписанным многоугольником, то есть фигурой, вершины которой лежат на окружности, а стороны проходят внутри круга. Площадь такого многоугольника можно вычислить по знакомым правилам. Она меньше площади круга, но помогает понять, как эту площадь определить.
Чем больше сторон у вписанного правильного многоугольника, тем меньше его стороны отличаются от коротких дуг окружности. Контур многоугольника всё точнее повторяет круг, а промежутки между ним и окружностью становятся уже. Поэтому площадь многоугольника приближается к площади круга. Это рассуждение помогает перейти от знакомых площадей многоугольников к правилу для круглой области.
Площадь круга зависит от квадрата радиуса, а не только от самого радиуса. Если радиус увеличить, круг растёт одновременно в ширину и в высоту: оба размера увеличиваются в одинаковое число раз. Поэтому при увеличении радиуса в k раз площадь увеличивается в k² раз. Например, при удвоении радиуса она становится в четыре раза больше, а не в два.
Формула площади круга: S = πR². Здесь R — радиус, поэтому сначала его возводят в квадрат, а затем умножают результат на π. Квадрат радиуса отвечает за размер круга, а π связывает эту зависимость с постоянными свойствами окружности. Так формула учитывает и размеры конкретного круга, и общую для всех кругов геометрическую пропорцию.
Если вместо радиуса известен диаметр d, используем равенство R = d/2. Подставляя его в формулу, получаем S = π(d/2)² = πd²/4. Делить диаметр на два нужно до вычисления площади, если решаешь задачу через радиус. Формула через диаметр удобна, когда его значение дано напрямую, но результат в обоих случаях будет одинаковым.
| Что известно | Обозначения | Формула площади |
|---|---|---|
| Радиус круга | R — радиус | S = πR² |
| Диаметр круга | d — диаметр | S = πd²/4 |
| Как найти радиус по диаметру | d — диаметр, R — радиус | R = d/2 |
Сначала определи, какая величина дана в условии: радиус или диаметр. Если дан радиус, бери формулу из первой строки; если диаметр — используй вторую или найди половину диаметра. В любом случае площадь записывай в квадратных единицах.
Задача 1. Найти площадь круга радиуса 3 см. Известен радиус, значит, можно сразу подставить его в формулу S = πR². В записи единиц после вычисления понадобится квадратный сантиметр.
Ответ: 9π см², или приблизительно 28,26 см².
Задача 2. Диаметр круга равен 10 см. Найти его площадь. В условии дан диаметр, а формула S = πR² требует радиус. Поэтому сначала выразим радиус через диаметр и только потом будем считать площадь.
Ответ: 25π см², или приблизительно 78,5 см².
Задача 3. Площадь круга равна 49π см². Найти его радиус и диаметр. Поскольку дана площадь с множителем π, сравним её с выражением S = πR². После сокращения одинакового множителя получим квадрат радиуса, из которого можно найти радиус.
Ответ: радиус равен 7 см, диаметр — 14 см.
Подставляют диаметр вместо радиуса в S = πR², потому что принимают эти отрезки за одно и то же. Диаметр вдвое длиннее радиуса, поэтому сначала раздели его на 2. Проверь себя: если дан диаметр 10 см, в формуле должно стоять R = 5 см, а не 10 см.
Записывают S = πR, забывая возвести радиус в квадрат. Так часто происходит, если механически переписывают формулу и не следят за показателем степени. Сверь результат с формулой S = πR²: у радиуса обязательно должен быть показатель 2.
Думают, что при увеличении радиуса в два раза площадь тоже удваивается. Ошибка возникает, если не учитывать квадрат радиуса в формуле. Подставь 2R: получится π(2R)² = 4πR², значит, площадь увеличится в четыре раза.
Записывают площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Можно забыть единицу или не заметить, что площадь описывает двумерную область. Проверь обозначение: при радиусе в сантиметрах ответ записывают в см², а не в см.
Перед решением задач полезно знать, чем круг отличается от окружности, что такое радиус и диаметр, а также помнить формулы площадей прямоугольника и треугольника. Идея вычисления площади через приближение опирается на знакомые правила для многоугольников. Формула площади круга пригодится, когда нужно найти площадь части круга или круглого основания геометрического тела. Поэтому понимание радиуса и единиц площади помогает и в последующих темах.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает эту линию и все точки внутри неё. Поэтому площадь есть у круга, а окружность сама по себе только ограничивает его.
Почему в формуле площади радиус возводят в квадрат?
Площадь зависит от двух размеров круга: его ширины и высоты, которые растут вместе с радиусом. Поэтому при увеличении радиуса в k раз площадь изменяется в k² раз. Формула S = πR² отражает эту зависимость.
Можно ли найти площадь круга, если известен только диаметр?
Да. Сначала раздели диаметр на 2, чтобы получить радиус, а затем подставь его в формулу S = πR². Можно сразу использовать равносильную формулу S = πd²/4.
Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в два раза?
Площадь увеличится в четыре раза, потому что радиус входит в формулу в квадрате. Действительно, (2R)² = 4R².
Как правильно записать единицы измерения площади круга?
Площадь записывают в квадратных единицах: например, см², м² или мм². Если радиус измерен в сантиметрах, ответ должен быть выражен в квадратных сантиметрах.
131. Площадь круга
