"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Круг — часть плоскости внутри окружности, а его площадь показывает, сколько места эта часть занимает. Чтобы найти площадь, достаточно знать радиус: используют формулу S = πR², где π — отношение длины окружности к её диаметру. Если дан диаметр, его сначала делят пополам. Формула помогает вычислять площади кругов и их частей, а зависимость от квадрата радиуса позволяет сравнивать круги без конкретных измерений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность — только граница, а круг включает всё пространство внутри неё. Это различие помогает не путать линию с фигурой, площадь которой требуется найти.
Площадь круга — величина, характеризующая часть плоскости, занятую кругом; её обозначают буквой S. Чем больше эта величина, тем больше места занимает круг. Площадь нужна, например, чтобы сравнивать размеры круглых площадок или деталей.
Радиус круга — расстояние от центра до точки круга, его обозначают R. Все радиусы одного круга равны, поэтому достаточно измерить один из них. Радиус используют в формуле площади, а если известен диаметр, сначала находят половину диаметра.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру. Оно одинаково для любой окружности и входит в формулы длины окружности и площади круга. Благодаря π формула подходит для кругов любого размера.
Площадь круга можно представить как предел площадей правильных многоугольников, вписанных в него. Вписанный многоугольник лежит внутри круга, поэтому его площадь меньше площади круга. Когда число сторон растёт, стороны становятся короче, а граница многоугольника всё точнее повторяет окружность; незаполненные участки уменьшаются. Поэтому площади таких многоугольников всё ближе подходят к площади круга.
Для правильного многоугольника площадь равна половине произведения периметра на апофему. Апофема — перпендикулярное расстояние от центра многоугольника до его стороны. Если разбить многоугольник на треугольники с вершиной в центре, у всех треугольников высота равна апофеме, а сумма их оснований равна периметру. Поэтому общая площадь получается как ½ периметра, умноженного на апофему. У вписанного в круг многоугольника апофема при увеличении числа сторон приближается к радиусу.
Периметр вписанного многоугольника при увеличении числа сторон приближается к длине окружности. Это происходит потому, что его короткие стороны всё точнее повторяют дуги окружности. Длина окружности равна 2πR, значит, в пределе периметр многоугольника стремится к 2πR. Для перехода к площади круга в формуле многоугольника остаются именно периметр и апофема.
В формуле площади многоугольника заменяем периметр его предельным значением 2πR, а апофему — предельным значением R. Получаем S = ½ · 2πR · R = πR². Так формула следует из приближения круга многоугольниками, а не просто запоминается как готовое правило. Если обозначить длину окружности через C, ту же запись можно представить как S = CR/2.
В формуле S = πR² радиус умножается сам на себя. Если вместо R взять радиус kR, площадь станет π(kR)² = k²πR², то есть увеличится в k² раз. Например, удвоение радиуса даёт не удвоение, а увеличение площади в четыре раза. Именно поэтому размер круга особенно быстро растёт при увеличении радиуса.
| Величина или изменение | Формула | Что обозначают символы |
|---|---|---|
| Площадь круга | S = πR² | S — площадь, R — радиус, π — число пи |
| Площадь через диаметр | S = πd²/4 | d — диаметр круга, S — площадь |
| Изменение площади при изменении радиуса | S₂/S₁ = (R₂/R₁)² | R₁ и R₂ — радиусы, S₁ и S₂ — соответствующие площади |
Если дан радиус, используй первую строку; если дан диаметр — вторую или сначала найди половину диаметра. Последняя строка позволяет сравнить два круга, не вычисляя каждую площадь отдельно. Во всех случаях проверяй, что длина записана в подходящих единицах, а площадь — в квадратных.
Найдите площадь круга радиуса 5 см. Здесь радиус известен непосредственно, поэтому можно сразу применить основную формулу. Сначала возводим радиус в квадрат, затем умножаем результат на π. Единицы площади записываем в квадратных сантиметрах.
Ответ: 25π см².
Площадь круга равна 49π см². Найдите его радиус и диаметр. Поскольку площадь выражена через π, приравниваем коэффициенты в формуле S = πR² и получаем квадрат радиуса. Затем извлекаем квадратный корень и используем связь диаметра с радиусом.
Ответ: радиус 7 см, диаметр 14 см.
Радиус одного круга в 3 раза больше радиуса другого. Во сколько раз различаются их площади? Обозначим меньший радиус через R, тогда больший равен 3R. Сравним площади по формуле: одинаковый множитель π сокращается, а отношение квадратов радиусов остаётся. Конкретное значение меньшего радиуса для сравнения не требуется.
Ответ: площади различаются в 9 раз.
Подстановка диаметра вместо радиуса в формулу S = πR² приводит к завышенному результату: диаметр вдвое больше радиуса. Так ошибаются, когда используют первое данное в условии число, не проверив, что именно оно обозначает. Перед вычислением подпиши величину и при необходимости найди R = d/2. Проверка: радиус должен быть вдвое меньше диаметра.
Если записать S = πR вместо S = πR², радиус не возводится в квадрат. Ошибка возникает из-за того, что степень легко пропустить при переписывании формулы. Проверь себя по единицам: π безразмерно, а радиус в первой степени даёт длину, не площадь. В ответе должны получиться квадратные единицы.
Увеличение радиуса в k раз иногда ошибочно принимают за такое же увеличение площади. Это неверно, потому что радиус в формуле возведён в квадрат, и множитель тоже возводится в квадрат. Подставь новый радиус kR: получишь π(kR)² = k²πR². Для проверки при удвоении радиуса площадь должна увеличиться в четыре раза.
Запись см вместо см² означает единицу длины, а не площади. Так бывает, когда после вычисления механически переносят единицы из условия. Площадь получается умножением длины на длину, поэтому единицы тоже перемножаются. Проверь, что в ответе указаны квадратные сантиметры, квадратные метры или другие квадратные единицы.
Для вычислений нужны формула длины окружности C = 2πR и связь диаметра с радиусом d = 2R. Они позволяют понять, почему в формуле площади появляется π, а также заменить радиус диаметром, если он дан в условии. Без этих связей легко перепутать обозначения или подставить неверную величину.
Формула площади круга понадобится при нахождении площадей его частей, например секторов и колец. Она также помогает решать задачи, в которых круг входит в состав более сложной фигуры. В таких задачах сначала находят площадь круга, а затем выделяют или вычитают нужную часть.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг — вся часть плоскости внутри этой линии вместе с границей.
Почему в формуле площади радиус возводится в квадрат?
Площадь измеряет размер двумерной фигуры, поэтому её единицы состоят из двух единиц длины. При выводе формулы множатся радиус и величина, стремящаяся к половине длины окружности, поэтому получается πR².
Как найти площадь круга, если дан диаметр?
Сначала разделите диаметр d на 2 и получите радиус R. Затем подставьте его в формулу площади: S = π(d/2)² = πd²/4.
Во сколько раз изменится площадь, если радиус увеличить вдвое?
Площадь увеличится в 2² = 4 раза. Это следует из формулы S = πR²: радиус входит в неё во второй степени.
Почему площадь круга можно связать с длиной окружности?
Круг можно приближать вписанными многоугольниками, площадь которых равна половине произведения периметра на апофему. При увеличении числа сторон периметр приближается к длине окружности, а апофема — к радиусу, поэтому S = CR/2.
111. Площадь круга
