"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, а его площадь показывает, сколько места эта фигура занимает. Чтобы вычислить площадь, достаточно знать радиус: его возводят в квадрат и умножают на π, приблизительно равное 3,14. Если дан диаметр, сначала находят радиус или сразу используют формулу S = πd²/4. Разберём, почему формула устроена именно так, как применять её в задачах и в каких единицах записывать ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь круга — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает круг. Круг состоит из всех точек внутри замкнутой линии и самой этой линии, а окружность — только граница круга. Поэтому длину находят у окружности, а площадь — у круга. Площадь помогает сравнивать, сколько места занимают круглые площадки, крышки или другие фигуры.
Радиус круга — отрезок от его центра до любой точки границы; радиус обычно обозначают буквой r. Все радиусы одного круга равны, поэтому достаточно измерить один из них. Радиус нужен для вычисления площади и длины окружности. Не путай его с диаметром: диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру. Оно одинаково для всех окружностей и приближённо равно 3,14. Знак π позволяет записывать точные формулы, не заменяя число бесконечной десятичной дробью. В вычислениях можно подставить 3,14, если требуется получить приближённое значение.
Формула площади круга записывается так: S = πr². Здесь S — площадь, π — число пи, а r — радиус круга; запись r² означает r · r. Формула показывает, как найти площадь, если известен радиус. Результат записывают в квадратных единицах, например в см² или м².
Формулу площади круга можно связать с уже знакомой формулой площади прямоугольника: площадь равна произведению его основания на высоту. Чтобы увидеть похожую конструкцию у круга, его мысленно делят на множество узких секторов — частей, похожих на кусочки пирога. Чем больше секторов и чем они уже, тем точнее из них можно сложить фигуру с ровными сторонами. Так круг превращается в фигуру, близкую к прямоугольнику.
Секторы располагают попеременно: один острым концом вверх, следующий — вниз. Изогнутые края при этом распределяются по верхней и нижней сторонам получившейся фигуры, а концы секторов образуют края, похожие на прямые. Высота этой фигуры близка к радиусу круга r, потому что каждый сектор тянется от центра до окружности. Поэтому один размер будущего прямоугольника уже известен.
Основание фигуры складывается из дуг окружности. Дуги, оказавшиеся сверху, вместе дают примерно половину длины окружности, и столько же дают дуги снизу. Длина всей окружности равна 2πr, значит половина её длины равна πr. Поэтому основание сложенной фигуры близко к πr, а её высота — к r.
Площадь полученной фигуры равна основанию, умноженному на высоту. Подставляем найденные значения: S = πr · r = πr². Чем уже сектора, тем сильнее сложенная фигура похожа на прямоугольник, поэтому такой способ объясняет формулу площади круга. В вычислениях эту формулу применяют напрямую, а разрезание помогает понять, откуда она берётся.
В формуле радиус умножается сам на себя. Если увеличить его в k раз, новая площадь будет π · (kr)², то есть π · k²r²; это в k² раз больше прежней площади. Например, увеличение радиуса в 3 раза увеличит площадь в 9 раз, а не в 3. Через диаметр d формулу тоже можно записать: поскольку r = d/2, то S = π(d/2)² = πd²/4.
Выбери строку по той величине, которая дана в условии. Если известна площадь, а нужно найти размер круга, сначала найди радиус, а затем при необходимости диаметр. Перед подстановкой проверь, что все длины выражены в одинаковых единицах.
| Что известно | Формула площади | Что подставить |
|---|---|---|
| Радиус r | S = πr² | Значение радиуса r |
| Диаметр d | S = πd²/4 | Значение диаметра d |
| Известная площадь S: нахождение радиуса | r = √(S/π) | Значение площади S |
| Известная площадь S: нахождение диаметра | d = 2√(S/π) | Значение площади S |
Задача 1. Найти площадь круга радиуса 3 см. Ответ выразить через π и приближённо, приняв π ≈ 3,14. Радиус уже известен, поэтому сначала используем основную формулу, не заменяя точное значение π. Затем вычислим десятичное приближение. Единицы длины здесь сантиметры, значит площадь будет в квадратных сантиметрах.
Ответ: 9π см², или приблизительно 28,26 см². Запись через π точная, а число 28,26 получено с приближённым значением π.
Задача 2. Диаметр круглой площадки равен 10 м. Найти её площадь. В формуле S = πr² нужен радиус, а в условии дан диаметр. Поэтому сначала разделим диаметр пополам и только потом возведём полученный радиус в квадрат. Так мы не перепутаем два разных размера круга.
Ответ: 25π м², или приблизительно 78,5 м². Квадратные метры указаны потому, что площадь получается при умножении метров на метры.
Задача 3. Площадь круга равна 49π см². Найти его радиус и диаметр. Здесь площадь известна, а радиус требуется определить, поэтому выразим r² из формулы площади. После этого извлечём квадратный корень и выберем положительное значение: длина радиуса не бывает отрицательной.
Ответ: радиус равен 7 см, диаметр — 14 см. Проверка: π · 7² = 49π см², как и дано в условии.
В формулу S = πr² иногда подставляют диаметр вместо радиуса. Это происходит, если не заметить, что буква r обозначает именно радиус, а диаметр вдвое больше него. Такая подстановка увеличивает вычисленную площадь в четыре раза. Проверь себя: если дан диаметр, раздели его на 2 или используй формулу S = πd²/4.
Другая ошибка — забыть квадрат и записать S = πr. Так бывает, когда формулу вспоминают по частям и теряют показатель степени. Проверка по единицам поможет заметить проблему: πr имеет единицы длины, а площадь должна иметь квадратные единицы. Убедись, что радиус умножен сам на себя.
Иногда ответ записывают в сантиметрах или метрах, хотя вычисляли площадь. Ошибка возникает, если единицу измерения переносят из условия, не проверяя, что именно найдено. При умножении длины на длину единицы тоже перемножаются: см · см = см². В конце решения обязательно поставь квадрат у единицы площади.
При вычислениях с π число 28,26 могут объявить точным ответом для площади 9π. Это неверно, потому что 3,14 — округлённое значение числа π. Точное значение в таком случае — 9π, а десятичное — приблизительно 28,26. Если в условии просят точный ответ, оставляй π; если нужен приближённый, используй знак ≈.
Для работы с площадью круга полезны формулы длины окружности C = 2πr и связи диаметра с радиусом d = 2r. Они помогают понять, почему основание фигуры, составленной из секторов, близко к πr. Знание связи r и d также позволяет перейти от диаметра к радиусу.
В вычислениях понадобятся возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня. А сравнение площади круга с площадью прямоугольника помогает понять происхождение формулы: площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту. Такие навыки нужны и в задачах, где по площади требуется найти радиус.
Формула площади круга применяется в задачах о кольцах, круглых площадках и фигурах, составленных из нескольких кругов. Например, для кольца можно найти площади большого и малого кругов, а затем вычесть меньшую из большей. Главное — сначала определить нужные радиусы и выразить все измерения в одинаковых единицах.
Почему в формуле площади круга радиус возводится в квадрат?
Площадь зависит от двух размеров фигуры, поэтому в её формуле появляется произведение двух величин длины. При мысленном разрезании круга на тонкие секторы они складываются в фигуру, похожую на прямоугольник со сторонами r и πr. Их произведение равно πr².
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает эту линию и всю часть плоскости внутри неё. Площадь есть у круга, а окружность характеризуют, например, её длиной.
Можно ли найти площадь круга, если известен только диаметр?
Да. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому радиус равен половине диаметра: r = d/2. Затем можно подставить это значение в формулу S = πr² или сразу использовать S = πd²/4.
Почему площадь измеряют в квадратных единицах?
Площадь показывает размер части плоскости и измеряется количеством единичных квадратов, которые её покрывают. Поэтому при вычислении длины, умноженной на длину, единицы тоже перемножаются: например, см · см = см².
Когда ответ нужно оставлять через π, а когда можно использовать 3,14?
Запись через π, например 9π см², точная и не содержит округления. Если требуется десятичное значение или приблизительный ответ, можно заменить π на 3,14 и написать знак ≈. Учитывай, что результат с 3,14 обычно приближённый.
19.5. Площадь круга
