"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Его площадь показывает, сколько квадратных единиц находится внутри границы круга. Главная формула — S = πr², где r — радиус, а π ≈ 3,14. Если известен диаметр, используют формулу S = πd²/4, предварительно учитывая, что радиус равен половине диаметра. Эти правила применяются при вычислении площадей дисков, круглых деталей, клумб и других объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Его центр обычно обозначают буквой O, а радиус — буквой r. Чтобы найти площадь, нужно рассматривать не только линию окружности, но и всю область внутри неё.
Площадь круга — величина, показывающая, сколько квадратных единиц содержится внутри круга. Её обозначают буквой S. Она нужна, например, чтобы узнать размер круглой детали, диска или клумбы.
Радиус круга — отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой окружности. Все радиусы одного круга равны. Именно радиус используют в основной формуле площади: S = πr2.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру. Для любого круга это одно и то же число, примерно равное 3,14, хотя его десятичная запись бесконечна. Знак π позволяет записывать точный результат, не заменяя число округлённым значением.
Формулу S = πr2 можно понять через мысленное разбиение круга на множество узких секторов. Если разрезать их по радиусам и переставить по очереди, получится фигура, похожая на прямоугольник. Чем больше секторов, тем ровнее становятся её верхний и нижний края, поэтому приближение делается точнее.
Высота такой перестроенной фигуры равна радиусу r, потому что каждый сектор имеет боковую сторону, равную радиусу круга. Основание складывается примерно из половины длины окружности: длина окружности равна 2πr, значит, половина равна πr. Перемножая основание и высоту, получаем S ≈ πr · r = πr2, а при бесконечно тонких секторах это становится точной формулой.
Квадрат радиуса показывает, почему площадь изменяется быстрее самого радиуса. Если радиус увеличить в k раз, то в формуле появится (kr)2 = k2r2. Следовательно, площадь увеличится в k2 раз: при удвоении радиуса она станет в четыре раза больше, а при утроении — в девять раз больше.
Диаметр d равен двум радиусам, поэтому r = d/2. Подставим это выражение в основную формулу: S = π(d/2)2 = πd2/4. Результат измеряют в квадратных единицах, поскольку площадь получается умножением двух длин. Перед вычислением сантиметры, метры или другие единицы нужно привести к одному виду.
Выберите в таблице строку, соответствующую известной величине. Если дан диаметр или длина окружности, сначала выполните промежуточное действие, а затем подставьте найденное значение в формулу. Единицу длины следует сохранить единой, а в ответе записать её квадрат.
| Что известно | Промежуточное действие | Формула площади | Единицы площади |
|---|---|---|---|
| Радиус r | Ничего вычислять не нужно | S = πr2 | Квадрат единицы длины |
| Диаметр d | Найти радиус: r = d/2 | S = πd2/4 | Квадрат единицы длины |
| Длина окружности C | Найти радиус: r = C/(2π) | S = C2/(4π) | Квадрат единицы длины |
Условие: найдите площадь круга радиусом 5 см. Ответ запишите с π и приближённо. Радиус уже известен, поэтому дополнительных преобразований перед применением формулы не требуется.
Ответ: 25π см2, приблизительно 78,5 см2.
Условие: найдите площадь круга, диаметр которого равен 12 м. В основной формуле используется радиус, поэтому сначала нужно заменить диаметр половиной его значения.
Ответ: 36π м2, или примерно 113,04 м2.
Условие: площадь круглой клумбы равна 78,5 м2. Найдите её радиус и длину ограждения, считая π ≈ 3,14. Сначала восстановим радиус по площади, затем найдём длину окружности.
Ответ: радиус клумбы 5 м, длина ограждения 31,4 м.
Подстановка диаметра вместо радиуса. Так происходит, потому что обе величины описывают размер круга, но в формуле S = πr2 используется только радиус. Если дан диаметр, разделите его на два и проверьте, что радиус меньше диаметра в два раза.
Неверное возведение в квадрат. Иногда ученик случайно возводит в квадрат πr целиком или, наоборот, меняет и число π, и радиус. Правильная запись S = π · r2: в квадрат возводится только радиус.
Неправильные единицы ответа. Запись «см» обозначает длину, а площадь должна измеряться в «см2». Проверьте размерность: в формуле перемножаются две длины, поэтому единица также должна быть квадратной.
Слишком раннее округление π. Если заменить π приближённым числом до всех преобразований, итог может немного измениться. Сначала оставляйте ответ с π, а округление выполняйте в конце и указывайте, какое значение использовали.
Для площади круга нужно уметь различать радиус и диаметр, находить длину окружности, возводить числа в квадрат и переводить единицы площади. Формула применяется к дискам, круглым деталям, клумбам и другим объектам.
Дальше эти знания используются при изучении площади сектора и сегмента, а также в задачах, где одновременно встречаются площадь круга, длина окружности и подобие фигур. Понимание зависимости S от r помогает сравнивать подобные круги.
Почему в формуле площади круга радиус возводится в квадрат?
При увеличении радиуса меняются сразу два размера круга: его ширина и длина. Поэтому площадь растёт не в столько же раз, сколько радиус, а в квадрат соответствующего числа.
Можно ли сразу подставлять диаметр в формулу S = πr²?
Нет, в этой формуле буква r обозначает именно радиус. Диаметр сначала нужно разделить на два или сразу использовать формулу S = πd²/4.
Почему число π нельзя записать точно конечной десятичной дробью?
Число π иррационально: его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Поэтому в вычислениях используют приближённые значения, например 3,14 или 3,14159.
Как найти радиус, если известна площадь круга?
Из равенства S = πr² получают r² = S/π. Значит, радиус находят так: r = √(S/π), если известны площадь и выбранное значение π.
В каких единицах записывают площадь круга?
Площадь записывают в квадратных единицах: см², м², км² и других. Перед вычислением все длины нужно привести к одной единице, а затем возвести единицу длины в квадрат.
2.4. Площадь круга
