"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Окружность — замкнутая линия, а её длина показывает, какое расстояние проходит точка за один полный обход. Эта величина нужна, чтобы решать задачи о круглых предметах, колёсах и механизмах. Длина окружности связана с диаметром постоянным отношением, которое обозначают числом π. Поэтому её можно найти по диаметру или радиусу, а при увеличении радиуса во столько же раз увеличивается и длина.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Кругом называют часть плоскости внутри этой линии вместе с самой границей. Поэтому окружность — это только линия, а круг — вся ограниченная ею фигура. Для вычисления длины нужна именно линия окружности.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; его обозначают R. Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый измеряет расстояние от центра до линии. Радиус позволяет задать размер окружности и нужен для вычисления её длины, если диаметр не указан.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Хордой называют отрезок, концы которого лежат на окружности, а диаметр обозначают d. Он состоит из двух радиусов, поэтому d = 2R. Диаметр удобно использовать как меру ширины окружности через её центр.
Длина окружности — расстояние, которое прошла бы точка, совершив один полный обход по окружности. Эту величину обозначают C. В отличие от радиуса и диаметра, длина описывает не расстояние до центра, а протяжённость самой линии. Она измеряется в единицах длины: миллиметрах, сантиметрах, метрах и других.
У всех окружностей отношение длины к диаметру одинаковое. Если окружность увеличить, её диаметр и длина увеличатся согласованно: например, вдвое больший диаметр даёт вдвое большую длину. Поэтому отношение C/d не зависит от размера окружности. Это постоянное отношение обозначают греческой буквой π и называют числом пи; его приближённое значение — 3,14.
Из определения числа π следует равенство C/d = π. Чтобы получить длину, умножим обе части на d: тогда C = πd. Поскольку диаметр равен двум радиусам, подстановка d = 2R даёт C = π · 2R, то есть C = 2πR. Эти формулы описывают одну и ту же зависимость, только исходной величиной служит либо диаметр, либо радиус.
Если радиус увеличить в k раз, новый радиус будет kR. Тогда длина станет C₂ = 2π · kR = k · 2πR, то есть увеличится в k раз. Причина в том, что π и множитель 2 не меняются, а длина прямо пропорциональна радиусу. Например, утроение радиуса приводит к утроению длины окружности.
Формулу выбирают по тем данным, которые есть в задаче. Если дан диаметр, сразу используйте C = πd; так не придётся сначала делить его пополам. Если известен радиус, применяйте C = 2πR. Когда дана длина и требуется найти радиус или диаметр, выразите нужную величину из подходящей формулы, а не подставляйте данные в формулу для поиска длины.
Число π — иррациональное: его десятичная запись бесконечна и не повторяется периодически. Поэтому точный результат часто оставляют через π, например 10π см. Если задача просит приближённое значение или даёт π ≈ 3,14, подставьте это число и выполните вычисления. Сначала полезно записать точное выражение, а затем округлять десятичный результат, если это требуется.
| Величина | Обозначение | Формула через радиус | Формула через диаметр | Единица измерения |
|---|---|---|---|---|
| Радиус | R | R | d/2 | единицы длины |
| Диаметр | d | 2R | d | единицы длины |
| Длина окружности | C | 2πR | πd | единицы длины |
| Связь диаметра и радиуса | d, R | d = 2R | R = d/2 | единицы длины |
| Связь длины окружности и диаметра | C, d | C = 2πR | C = πd | единицы длины |
Найдите в таблице известную величину и выберите соответствующую формулу для искомой. Если известен радиус, используйте столбец «Формула через радиус», если диаметр — столбец «Формула через диаметр». До вычислений убедитесь, что все длины выражены в одинаковых единицах.
Найдите длину окружности радиуса 5 см. Ответ запишите с π и приближённо, если π ≈ 3,14. Дана величина R, а требуется найти C, поэтому удобнее взять формулу через радиус. В обоих вариантах ответа обязательно укажем сантиметры.
Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см.
Длина окружности равна 18,84 м. Найдите её радиус, используя π ≈ 3,14. Здесь известна длина, а требуется радиус, поэтому нужно преобразовать формулу C = 2πR. После вычисления проверим результат обратной подстановкой.
Ответ: 3 м.
Колесо диаметром 70 см делает 120 полных оборотов. Какое расстояние оно проходит? За один полный оборот точка на ободе проходит одну длину окружности колеса. Поэтому сначала найдём эту длину, а затем умножим на число оборотов; ответ в сантиметрах переведём в метры.
Ответ: 263,76 м.
Подмена окружности кругом приводит к смешению длины и площади. Ошибка возникает потому, что в быту круглой фигурой называют и линию, и всю область внутри неё. Проверьте, что требуется найти: путь по границе измеряется единицами длины, а площадь — квадратными единицами.
Формулу C = 2πd иногда записывают, смешивая обозначения радиуса и диаметра. Но число π умножают на диаметр один раз, поэтому верная формула — C = πd. Проверьте результат, разделив найденную длину на диаметр: отношение должно быть примерно 3,14, а не 6,28.
В формуле через радиус легко забыть множитель 2. Он нужен потому, что диаметр равен двум радиусам, а формула C = πd содержит именно диаметр. Для самопроверки сначала замените радиус диаметром: если R дан, запишите d = 2R, а затем найдите C = πd.
Несогласованные единицы и отсутствие единицы в ответе делают вычисление неполным. Например, перед умножением длины окружности в сантиметрах на число оборотов нельзя без перевода записать итог в метрах. Приведите все длины к одной единице и впишите единицу измерения в ответ; результат должен иметь размерность длины.
Для работы с длиной окружности нужно знать центр окружности, радиус, диаметр и уметь преобразовывать буквенные выражения. Формулы опираются на пропорциональность и число π, а задачи часто требуют переводить единицы длины. Полученная зависимость пригодится при изучении площади круга и длины дуги. Она также помогает решать практические задачи о вращении, колёсах и механизмах.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Круг — часть плоскости внутри окружности вместе с её границей. Длину находят у окружности, а площадь — у круга.
Почему в формуле через радиус появляется множитель 2?
Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому d = 2R. Подставляя это равенство в формулу C = πd, получаем C = 2πR.
Какую формулу выбрать: C = πd или C = 2πR?
Выбирайте формулу, для которой в условии уже дана нужная величина: диаметр или радиус. Если известен диаметр, используйте C = πd, а если радиус — C = 2πR.
Можно ли в ответе оставлять число π?
Да, если нужен точный ответ и условие не требует десятичного приближения. Например, длину окружности радиуса 5 см можно записать как 10π см. Для приближённого ответа замените π указанным значением, например 3,14.
Как найти радиус или диаметр, если известна длина окружности?
Из формулы C = πd выразите диаметр: d = C/π. Из формулы C = 2πR выразите радиус: R = C/(2π). После вычисления проверьте, что найденные величины связаны равенством d = 2R.
2.3. Длина окружности
