§24. Многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого составлена из конечного числа многоугольников. Это определение помогает отличить такие тела от фигур с кривой поверхностью и описывать их как совокупность плоских частей.

Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть поверхности многогранника. Грани позволяют увидеть, из каких плоских фигур построено тело, и служат основой для изучения его формы.

Ребро многогранника — общая сторона двух граней, а вершина многогранника — общая вершина сходящихся в ней рёбер. Эти определения нужны, чтобы точно различать элементы тела и считать их, не принимая отрезки внутри граней за рёбра.

Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Это свойство помогает отличить тело без выступающих за плоскости граней частей от невыпуклого тела.

Как это устроено

Многоугольники соединяются в поверхность не произвольно: если две грани соседние, они соприкасаются целой стороной. Такая сторона становится общей границей этих граней, а у всей поверхности не остаётся свободного края. Благодаря этому многоугольники образуют поверхность тела, а не просто набор отдельных плоских фигур.

У каждого многоугольника есть стороны и вершины, поэтому они есть и у каждой грани. Когда две грани соприкасаются, их общая сторона рассматривается как одно ребро многогранника, а не как два разных отрезка. В месте встречи нескольких рёбер получается вершина тела; так элементы отдельных граней соединяются в общую пространственную конструкцию.

Чтобы отличить многогранник от другого тела, нужно мысленно проследить всю его поверхность. Если она состоит только из плоских многоугольников, тело является многогранником. Если хотя бы часть поверхности кривая, например боковая поверхность цилиндра или поверхность шара, это уже не многогранник.

Выпуклость проверяют не по общему впечатлению от формы, а относительно плоскостей граней. Представьте плоскость, продолженную от одной грани: если всё тело находится по одну её сторону, условие для этой грани выполнено. Эту проверку повторяют для каждой грани, потому что нарушение хотя бы одного условия означает, что многогранник невыпуклый.

Объёмное тело на плоском листе изображают условно, поэтому часть рёбер может оказаться за передними гранями. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, а невидимые — пунктиром. Пунктир не означает, что ребра нет: он помогает показать скрытую часть формы и понять, как соединены грани.

Элементы многогранника

Пользуясь таблицей, сначала определите, какую часть тела рассматриваете: многоугольник, его сторону или точку встречи сторон. Затем проверьте связи: ребро принадлежит двум граням, а в вершине сходятся рёбра. Это помогает избежать путаницы при описании и подсчёте элементов.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из тел с гранями в форме многоугольников являются многогранниками: куб, шар, цилиндр.

1. Проверим куб: его поверхность состоит из плоских квадратов, то есть многоугольников. Значит, куб подходит под определение многогранника.
2. У шара поверхность кривая и не разбита на плоские многоугольники. Поэтому шар не является многогранником.
3. У цилиндра боковая поверхность кривая, хотя основания — плоские круги. Следовательно, вся его поверхность не состоит из многоугольников.

Ответ: многогранником является куб; шар и цилиндр не являются многогранниками.

Задача 2. У куба назовите грани, рёбра и вершины и укажите их количества.

1. У куба шесть квадратных граней: верхняя, нижняя и четыре боковые. Каждую грань считаем один раз, даже если на чертеже видны не все.
2. У каждой из шести граней четыре стороны, поэтому сначала можно получить 6 · 4 = 24 упоминания сторон. Но каждое ребро принадлежит двум граням, значит, число рёбер равно 24 : 2 = 12.
3. Вершины куба — восемь угловых точек, где сходятся рёбра. На рисунке часть из них может быть скрыта, поэтому считаем вершины самого тела, а не только видимые.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 3. Для изображённого многогранника определите, является ли он выпуклым, и обоснуйте ответ.

1. Выберем плоскость одной грани и представим её продолженной за пределы многоугольника. Сравним с ней положение всего тела, а не только видимой части рисунка.
2. Если тело целиком лежит по одну сторону от этой плоскости, проверка для выбранной грани пройдена. Так же рассматриваем плоскости остальных граней.
3. Если хотя бы для одной грани тело оказывается по разные стороны от её плоскости, многогранник невыпуклый. Если условие выполнено для всех граней, он выпуклый.

Ответ: без изображения нельзя назвать конкретный результат; примените проверку ко всем граням и обоснуйте вывод найденным положением тела относительно их плоскостей.

Типичные ошибки

Иногда гранью называют любую плоскую часть рисунка, например треугольник, который лишь нарисован внутри другой грани. Но грань должна быть многоугольником, входящим в поверхность тела, а не линией или фигурой, добавленной для изображения. Проверьте, является ли эта часть настоящей частью оболочки многогранника.

Ребро можно спутать с отрезком, проведённым внутри грани. Такое происходит, потому что на чертеже оба выглядят как линии. У ребра есть важный признак: оно является общей стороной двух граней; если по одну сторону от отрезка нет второй грани, это не ребро.

Невидимое ребро иногда не учитывают, будто его нет. Причина ошибки — пунктирную линию принимают за вспомогательное обозначение, хотя она показывает скрытую часть тела. Проверьте, требуется ли мысленно продолжить контур многогранника: пунктирное ребро существует и должно учитываться при подсчёте.

Многогранник могут назвать выпуклым только потому, что на рисунке не заметна вмятина. Однако проекция на лист может скрыть особенности объёмной формы, поэтому одного внешнего впечатления недостаточно. Проверяйте тело относительно плоскости каждой грани и не делайте вывод, пока не рассмотрены все такие плоскости.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужны знания о многоугольниках: важно узнавать их стороны и вершины, а также понимать, что такое плоскость. Эти понятия позволяют описать грани и проверить, как они соединяются в пространстве. Освоив элементы многогранника, легче изучать призмы, пирамиды и другие пространственные тела. В этих темах те же грани, рёбра и вершины используются для описания формы и решения задач.

Что запомнить

• Поверхность многогранника состоит из многоугольников.
• Многоугольники на поверхности называются гранями.
• Общая сторона двух граней — ребро многогранника.
• Общая вершина сходящихся рёбер — вершина многогранника.
• Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой грани.
• На чертеже невидимые рёбра обычно изображают пунктиром.