"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Многогранник — часть пространства, граница которой составлена из многоугольников. Такие тела встречаются в геометрии и моделируют предметы с плоскими гранями: например, призмы и пирамиды. Чтобы описывать их строение, считают грани, рёбра и вершины. Для выпуклого многогранника эти числа связаны формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Она помогает проверять подсчёты и находить неизвестное число элементов, но сама по себе не доказывает, что фигура с заданными числами существует.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранная поверхность — поверхность, составленная из многоугольников, которые соединены общими сторонами. Соседние многоугольники имеют общую сторону целиком, а не только отдельную точку. Такое определение описывает устройство границы будущего тела и помогает понять, как плоские фигуры образуют поверхность в пространстве.
Многогранник — часть пространства, ограниченная многогранной поверхностью. Многоугольники, составляющие эту поверхность, называются гранями многогранника. Значит, многогранник включает не только оболочку, но и всё пространство внутри неё; это различие нужно, когда говорят о точках или отрезках, лежащих в теле.
Грань, ребро и вершина — основные элементы многогранника. Грань является многоугольником, ребро — его стороной, а вершина — концом рёбер, сходящихся в одной точке. У каждого ребра многогранника две соседние грани, для которых оно служит общей стороной, поэтому элементы нельзя подсчитывать независимо друг от друга.
Выпуклый многогранник — многогранник, целиком лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Это условие исключает вмятины, направленные внутрь тела. Понятие выпуклости важно, в частности, потому, что для выпуклых многогранников применяется формула Эйлера.
Многоугольники можно мысленно соединить по сторонам так, чтобы получилась замкнутая поверхность: у неё не должно быть открытого края, из которого тело «выходит» наружу. Если такая поверхность охватывает часть пространства, она ограничивает многогранник. Одного факта, что фигуры склеены по сторонам, недостаточно: важно, чтобы в результате они образовали целостную границу, а не плоскую развёртку или незамкнутую оболочку.
У грани на замкнутой поверхности есть соседние грани, потому что каждая её сторона продолжается на поверхности общей стороной другого многоугольника. В обычном многограннике по одну сторону от ребра находится одна грань, а по другую — вторая; третья грань не может занимать ту же сторону без нарушения устройства поверхности. Поэтому ребро принадлежит ровно двум граням. Именно это свойство объясняет, почему при подсчёте рёбер через стороны граней каждый результат нужно делить на два.
Определение выпуклости проверяют относительно плоскостей граней: тело не должно переходить на другую сторону ни одной такой плоскости. В этом случае оно не имеет вогнутых участков, а отрезок между любыми двумя точками тела целиком остаётся внутри него. Если же отрезок выходит наружу, многогранник невыпуклый. Это привычное свойство удобно для наглядной проверки, а условие с плоскостями граней позволяет точно сформулировать определение.
Для выпуклого многогранника число вершин В, рёбер Р и граней Г связано формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Например, если известны В и Р, можно найти Г: Г = 2 − В + Р. Формула относится именно к выпуклым многогранникам и позволяет проверять согласованность подсчётов. Если полученные числа ей не удовлетворяют, по крайней мере один из подсчётов ошибочен или условия применения формулы не выполнены.
Подсчёт граней, рёбер и вершин даёт способ проверить описание фигуры на согласованность. Например, если у многогранника посчитали 6 вершин, 9 рёбер и 5 граней, то 6 − 9 + 5 = 2 — число соответствует формуле Эйлера. Если при тех же вершинах и рёбрах записать 4 грани, получится 6 − 9 + 4 = 1, поэтому для выпуклого многогранника такой подсчёт неверен. Однако равенство Эйлера — только проверка необходимого условия, а не доказательство, что фигура с такими числами обязательно существует.
| Объект | Что обозначает | Обозначение или связь |
|---|---|---|
| Вершины | Точки, в которых сходятся рёбра | В — число вершин |
| Рёбра | Общие стороны двух граней | Р — число рёбер |
| Грани | Многоугольники, составляющие поверхность | Г — число граней |
| Связь между числом вершин, рёбер и граней | Формула Эйлера для выпуклого многогранника | В − Р + Г = 2 |
Сначала определите, какие элементы известны, а какие требуется найти, затем подставьте их числа в формулу. Для выпуклого многогранника равенство должно выполняться; нарушение равенства указывает на ошибку или неподходящие условия.
Так как многогранник выпуклый, к нему применима формула Эйлера. Обозначим число граней через Г и подставим известные числа. После этого выразим неизвестное, сохраняя знаки в равенстве.
Ответ: 5 граней. Проверка: 6 − 9 + 5 = 2, условие формулы выполняется.
Сначала используем сведения о треугольных гранях: у каждой по три стороны. При подсчёте сторон всех граней одно и то же ребро учитывается дважды, потому что оно принадлежит двум граням. Затем применим формулу Эйлера, чтобы найти число вершин.
Ответ: 12 рёбер и 6 вершин. Проверка: 6 − 12 + 8 = 2; подсчёт сторон также согласуется с равенством 3 · 8 = 2 · 12.
Для выпуклого многогранника необходимо равенство Эйлера. Проверим его для данных чисел. Если равенство не выполняется, существование такой фигуры исключается; если выполняется, это ещё не будет полным доказательством существования.
Ответ: формула Эйлера не исключает такую тройку чисел. Но по одному этому равенству нельзя заключить, что выпуклый многогранник с 10 вершинами, 15 рёбрами и 7 гранями действительно существует: нужны дополнительные геометрические условия.
Считать, что любая замкнутая поверхность из многоугольников ограничивает выпуклый многогранник, — ошибка: поверхность может иметь вогнутые участки. Её допускают, смешивая замкнутость оболочки с выпуклостью тела. Проверьте расположение тела относительно плоскостей граней: оно должно лежать по одну сторону от каждой из них.
При сложении числа сторон всех граней нельзя считать полученную сумму числом рёбер: каждое ребро входит в две грани. Ошибка возникает, если не учитывать общую сторону соседних многоугольников. Для проверки разделите сумму сторон граней на два; если все грани треугольные, должно получиться 3Г = 2Р.
Формулу Эйлера нельзя без проверки применять к любому невыпуклому объекту. Условия теоремы относятся к выпуклому многограннику, а одна только замкнутость этого не гарантирует. Перед вычислениями установите, что многогранник выпуклый; иначе вывод по формуле может быть необоснованным.
Выполнение равенства В − Р + Г = 2 не доказывает, что многогранник с такими числами существует. Равенство проверяет необходимую связь, но не описывает, как именно элементы можно соединить в пространстве. Используйте его для проверки и поиска неизвестного, а существование обосновывайте отдельно, если этого требует задача.
Для изучения многогранников нужны знания о многоугольниках: их стороны образуют рёбра, а вершины входят в число вершин тела. Также важно представлять, как прямые и плоскости расположены в пространстве, поскольку грани лежат в плоскостях. Понятия многогранника и его элементов станут основой для изучения призм и пирамид, а затем — площадей их поверхностей и объёмов. Формула Эйлера связывает геометрическое устройство фигуры с подсчётом её элементов и помогает решать задачи о пространственных телах.
Чем многогранник отличается от многогранной поверхности?
Многогранная поверхность состоит из многоугольников, соединённых сторонами, и образует границу тела. Многогранник — это сама часть пространства, ограниченная такой поверхностью.
Почему каждое ребро многогранника принадлежит двум граням?
Внутри замкнутой поверхности по обе стороны от общего ребра сходятся две грани. Если бы у ребра была только одна грань или больше двух, поверхность не образовывала бы обычную границу многогранника.
Как понять, что многогранник выпуклый?
Проверьте, что многогранник целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой грани. Равносильное привычное свойство: отрезок между любыми двумя точками многогранника не выходит за его пределы.
Почему в формуле Эйлера число рёбер вычитается?
В формуле В − Р + Г вычитание рёбер компенсирует то, что рёбра связывают вершины и одновременно служат сторонами граней. Такое сочетание трёх чисел для выпуклого многогранника всегда даёт 2.
Если числа вершин, рёбер и граней удовлетворяют формуле Эйлера, значит ли это, что такой многогранник существует?
Нет. Равенство В − Р + Г = 2 — необходимое условие для выпуклого многогранника, но не достаточное. Для существования фигуры должны выполняться и другие геометрические условия.
§ 4. Многогранники
