§ 3. Выпуклые тела

Определения и обозначения

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит весь отрезок, соединяющий их. Иначе говоря, как бы мы ни выбрали точки внутри множества, прямая дорога между ними не должна выходить наружу. Это определение позволяет проверять выпуклость фигур независимо от того, как выглядит их граница.

Выпуклое тело — ограниченное выпуклое множество точек пространства. Ограниченность означает, что тело целиком помещается внутри некоторого шара конечного радиуса. Плоская выпуклая фигура лежит в одной плоскости, а выпуклое тело занимает часть пространства; например, круг — плоская фигура, а шар — тело.

Выпуклая оболочка заданного множества точек — наименьшее выпуклое множество, которое содержит все эти точки. «Наименьшее» здесь означает, что оболочка входит в любое другое выпуклое множество, содержащее исходные точки. Она нужна, чтобы получить выпуклую фигуру или тело, охватывающее набор точек без лишних выступов и выемок.

Опорная плоскость тела — плоскость, проходящая через точку тела и не пересекающая его внутренность. Тело целиком находится по одну сторону от такой плоскости или лежит в ней частично. Опорная плоскость помогает описывать положение тела и его границу, особенно у выпуклых фигур.

Как это устроено

Чтобы проверить выпуклость множества, представьте две произвольные точки, выбранные внутри него или на границе, и соедините их отрезком. Если для каждой такой пары весь отрезок остаётся в множестве, оно выпукло; одного удачного примера недостаточно, потому что нужно проверить именно любые две точки. На практике для доказательства удобно использовать свойства фигуры, а для опровержения — подобрать одну пару, на которой условие нарушается.

Шар выпуклый: вместе с любыми двумя его точками он содержит соединяющий их отрезок, поскольку шар включает все точки, удалённые от центра не больше заданного радиуса. Куб и тетраэдр также выпуклы: их внутренние области ограничены плоскими гранями без вогнутых частей, поэтому прямая между точками многогранника не выходит за его границу. У тела с выемкой можно выбрать точки по разные стороны от выемки так, что часть отрезка между ними пройдёт снаружи. Значит, внешняя гладкость или сложность поверхности не заменяет проверку по определению.

Чтобы получить выпуклую оболочку набора точек, мысленно натяните вокруг них упругую плёнку, которая не провисает внутрь. Например, для нескольких точек на плоскости оболочка обычно ограничена многоугольником, а точки внутри него не создают дополнительных выемок. Оболочка выпукла по построению и содержит исходные точки. Любое выпуклое множество, содержащее эти точки, должно содержать и все необходимые отрезки между ними, а затем и всю оболочку, поэтому она является наименьшей.

Пересечение выпуклых множеств выпукло, потому что точка пересечения принадлежит каждому из них. Возьмём две точки, общие для всех множеств: отрезок между ними целиком лежит в каждом множестве по выпуклости. Следовательно, он лежит и в общей части. Для объединения такого рассуждения нет: две точки могут лежать в разных фигурах, а соединяющий их отрезок — проходить вне обеих.

Плоскость может пересекать тело, касаться его или не иметь с ним общих точек. Если она касается выпуклого тела, не заходя во внутренность, то является опорной; для шара это, например, касательная плоскость в точке поверхности. Сечение выпуклого тела плоскостью тоже выпукло: две его точки принадлежат одновременно телу и плоскости. Соединяющий их отрезок останется в теле по его выпуклости и в плоскости, потому что плоскость содержит отрезок между любыми своими точками.

Как распознавать выпуклость и описывать выпуклые тела

В таблице собраны признаки, которые удобно применять при разборе геометрической фигуры. Для доказательства выпуклости проверьте условие для произвольных точек или используйте известное свойство пересечения; для опровержения найдите конкретный отрезок, выходящий наружу. Следствия о сечениях помогают понять, какой формы может быть часть тела, полученная плоскостью.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли куб выпуклым телом, обосновав ответ через отрезок между произвольными точками. Нужно проверить не только вершины или середины граней, а любую пару точек куба. Удобно представить куб пересечением шести полупространств — областей по одну сторону от его граней. Каждое такое полупространство содержит отрезок между любыми двумя своими точками.

1. Выберем произвольные точки A и B куба. Обе точки удовлетворяют ограничениям, задающим положение внутри каждой из шести граней.
2. Любая точка отрезка AB является промежуточной точкой между A и B. Для каждого линейного ограничения она также остаётся по допустимую сторону соответствующей грани.
3. Значит, весь отрезок AB принадлежит всем шести полупространствам, а следовательно, и их пересечению — кубу.

Ответ: куб является выпуклым телом. Рассуждение подходит для любых точек, в том числе лежащих на поверхности или внутри куба.

Задача 2. Привести пример невыпуклого тела и указать две его точки, отрезок между которыми выходит за пределы тела. Возьмём тело в форме буквы U с достаточно глубоким промежутком между вертикальными частями. Выберем по точке в каждой из этих частей, примерно на одной высоте. Такой пример нагляднее, чем попытка судить о выпуклости только по очертанию границы.

1. Обозначим выбранные точки A и B; обе лежат внутри U-образного тела.
2. Соединим их отрезком. Между частями U находится пустая область, поэтому середина отрезка и некоторый участок рядом с ней не принадлежат телу.
3. Получили две точки тела, для которых отрезок не содержится в теле. Этого достаточно, чтобы нарушить условие выпуклости.

Ответ: U-образное тело невыпукло; точки A и B в его боковых частях служат контрпримером. Для любого другого тела с выемкой можно искать точки по разные стороны от неё.

Задача 3. Доказать, что пересечение двух выпуклых тел выпукло, если оно непусто. Пусть тела T₁ и T₂ выпуклы, а их пересечение содержит хотя бы одну точку. Чтобы доказать выпуклость пересечения, необходимо проверить определение для произвольной пары его точек, а не для какой-то выбранной пары.

1. Возьмём произвольные точки A и B из T₁ ∩ T₂. Тогда A и B одновременно принадлежат T₁ и T₂.
2. Так как T₁ выпукло, весь отрезок AB лежит в T₁. Так как выпукло T₂, тот же отрезок целиком лежит и в T₂.
3. Следовательно, каждая точка отрезка AB принадлежит обоим телам, то есть их пересечению T₁ ∩ T₂.

Ответ: пересечение двух выпуклых тел выпукло. Условие непустоты гарантирует, что рассматривается существующая общая часть; если пересечение пусто, утверждение о его точках формально не описывает тело.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать тело выпуклым, потому что его поверхность выглядит гладкой или округлой. Гладкость описывает внешний вид границы, а выпуклость требует, чтобы каждый отрезок между любыми двумя точками оставался внутри. Проверяйте не форму поверхности на глаз, а возможные пары точек, особенно по разные стороны предполагаемой выемки.

Вторая ошибка — проверять отрезки только между точками поверхности. Определение относится ко всем точкам множества, включая внутренние, поэтому тест на вершинах или отдельных участках границы сам по себе доказательства не даёт. При доказательстве берите произвольные точки тела; при опровержении указывайте конкретные точки, которые действительно принадлежат телу.

Третья ошибка — путать выпуклость с отсутствием отверстий. Тело может не иметь сквозного отверстия, но обладать выемкой, из-за которой отрезок между двумя его точками выйдет наружу. Проверка проста: найдите такие точки и проследите весь отрезок, а не только его концы.

Четвёртая ошибка — утверждать, что объединение выпуклых множеств обязательно выпукло. Отдельные множества могут быть выпуклыми, но отрезок между точками, взятыми из разных частей объединения, способен пройти через промежуток снаружи. Чтобы проверить себя, возьмите две такие точки и проверьте, принадлежит ли объединению весь соединяющий их отрезок.

Связь с другими темами

Для работы с выпуклостью нужны понятия отрезка, плоскости, многогранника и сечения тела: без них нельзя сформулировать критерий или описать пересечение фигуры с плоскостью. Позже это свойство помогает исследовать многогранники и тела вращения, а также форму их сечений. Выпуклая оболочка связывает геометрию точек с задачами на построение и взаимное расположение фигур.

Что запомнить

• Выпуклое множество содержит отрезок между любой парой своих точек.
• Для проверки выпуклости достаточно найти контрпример, чтобы опровергнуть её.
• Шар и любой выпуклый многогранник являются выпуклыми телами.
• Пересечение выпуклых множеств выпукло.
• Объединение выпуклых множеств не обязательно выпукло.
• Сечение выпуклого тела плоскостью является выпуклым.