§ 2. Пространственные тела и замкнутые плоские области

Определения и обозначения

Пространственное тело — часть пространства, ограниченная поверхностью. Оно включает точки внутри и точки самой границы, поэтому телом называют не только оболочку, но и всё заключённое ею пространство.

Граница тела — поверхность, отделяющая тело от остального пространства. Она помогает точно указать, где тело заканчивается: например, сферу можно описать как границу шара, но она не содержит его внутренние точки.

Замкнутая плоская область — часть плоскости, ограниченная замкнутой линией и включающая эту линию. Определение нужно, чтобы отличать всю область от одной лишь ограничивающей её линии.

Внутренняя точка тела или области — точка, вокруг которой можно провести малую окрестность, целиком лежащую внутри тела или области. Это означает, что достаточно близкие к ней точки не выходят за границу; так внутренние точки отличают от граничных.

Как это устроено

Замкнутая поверхность разделяет пространство на две части: внутреннюю и внешнюю. Если двигаться из внутренней части наружу, необходимо пересечь эту поверхность, поэтому её и называют границей тела. Выбор внутренней стороны и самой поверхности задаёт тело целиком, а внешняя часть в него не входит.

Внутренность и границу различают, потому что их точки ведут себя по-разному относительно выхода наружу. Для внутренней точки можно выбрать достаточно маленькую окрестность, целиком остающуюся в теле, а у граничной точки такая окрестность задевает внешнюю часть. При этом граница входит в тело по определению, хотя внутренней его частью не является.

На плоскости действует сходное правило, но размерность меньше: вместо замкнутой поверхности область ограничивает замкнутая линия. Поверхность в пространстве и линия на плоскости выполняют одинаковую роль — отделяют рассматриваемую часть от того, что находится снаружи. Такое соответствие позволяет переносить способ рассуждения с плоскости на пространство.

Замкнутая линия сама по себе содержит только точки границы, а замкнутая плоская область включает также точки внутри неё. Например, окружность очерчивает круг, но не заполняет его. Если добавить к окружности все точки, расположенные внутри, получится область, ограниченная этой линией.

Чтобы по заданной границе определить объект, спроси, какие точки включены в описание. Для сферы соответствующее ограниченное ею тело — шар, состоящий из внутренности и самой сферы; для окружности областью будет круг вместе с окружностью. Проверка проста: граничные точки должны входить в замкнутое тело или область, а одной границы для этого недостаточно.

Сравнение пространственного тела и замкнутой плоской области

Сначала определите, где расположен объект: в пространстве или на плоскости. Затем найдите его границу и проверьте, включает ли описание также внутренние точки и саму границу.

Например, если названа только сфера или окружность, речь идёт о границе. Если названы шар или круг, имеются в виду и внутренние точки, и соответствующая граница.

Разбор задач

Задача 1. Определить, что ограничивает сфера: поверхность или пространственное тело, и указать, входит ли сама сфера в тело.

1. Сфера является поверхностью, а не внутренностью тела: она состоит из точек, равноудалённых от центра.
2. Замкнутая поверхность отделяет внутреннюю часть пространства от внешней. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
3. По определению пространственное тело включает граничные точки, поэтому сфера входит в шар, но не является его внутренней частью.

Ответ: сфера — граница шара; она входит в шар.

Задача 2. На плоскости дана окружность. Указать, является ли она замкнутой плоской областью, и описать область, которую она ограничивает.

1. Окружность — замкнутая линия. Она содержит граничные точки, но не содержит точки, лежащие внутри неё.
2. Поэтому окружность сама по себе не является замкнутой плоской областью: для области нужны также все внутренние точки.
3. Если соединить окружность с внутренностью, получится круг, ограниченный этой окружностью.

Ответ: окружность — граница, а замкнутая область — круг вместе с его внутренностью.

Задача 3. Сопоставить шар, его поверхность и круг, ограниченный окружностью: определить, какие объекты являются телом, его границей и плоской областью.

1. Шар занимает часть пространства и включает внутренние точки вместе с границей, значит, это пространственное тело.
2. Поверхность шара отделяет его от внешнего пространства, поэтому она является границей тела и называется сферой.
3. Круг находится на плоскости и состоит из внутренних точек и окружности; следовательно, это замкнутая плоская область, а окружность — её граница.

Ответ: шар — тело, его поверхность — граница, круг — плоская область, ограниченная окружностью.

Типичные ошибки

Называть границу пространственным телом — значит забывать о внутренних точках. Ошибку допускают, потому что поверхность хорошо видна и словно образует оболочку. Проверь себя: если объект состоит только из поверхности, он не содержит внутренность и является границей, а не всем телом.

Считать окружность замкнутой плоской областью неверно: линия ограничивает область, но не заполняет её. Путаница возникает из-за того, что в обычной речи окружностью иногда называют очерченный круг. Проверь, есть ли в объекте точки внутри линии: если их нет, перед тобой только граница.

Исключать границу из тела или области тоже неправильно. Обычно ученик мысленно отделяет оболочку от того, что она окружает, хотя здесь рассматривается замкнутый объект вместе с границей. Проверка: в определении прямо сказано, что тело и плоская область включают ограничивающую поверхность или линию.

Нельзя смешивать шар и сферу: шар содержит внутренние точки, а сфера — только поверхность. Это происходит из-за сходства названий и общего центра у фигур. Для проверки спроси себя, рассматриваются ли точки внутри: если да, это шар; если только поверхность — сфера.

Связь с другими темами

Для работы с этими понятиями нужны представления о точке, прямой, плоскости, поверхности и замкнутой линии. Они позволяют описать, в каком месте расположен объект и чем он ограничен. Различение тела и его границы понадобится при изучении многогранников и тел вращения: объём относится к телу, а площадь поверхности — к его границе.

Что запомнить

• Пространственное тело занимает часть пространства.
• Граница тела отделяет его от внешней части пространства.
• Замкнутая плоская область включает и внутренние точки, и ограничивающую её линию.
• Замкнутая линия является границей области, но не всей областью.
• Шар — тело, сфера — его граница.
• Круг — плоская область, окружность — её граница.